Деление с остатком

Разделить с остатком натуральное число а на натуральное число b – это значит найти пару целых неотрицательных чисел q и r таких, что a=bq+r, 0<r<b

Теорема: Каковы бы ни были натуральные числа а и b, существует и притом единственная пара целых неотрицательных чисел q и r, для которых выполнено равенство a=bq+r, 0<r<b, a-делимое, b-делитель, q-неполное частное, r-остаток.

Теоретико-множественный смысл деления с остатком: Пусть n(A)=a и множество А разбито на множества А₁,А₂,…А_q,R так, что А₁~А₂~А_q, множество R содержит элементов меньше, чем каждое множество А₁, А₂,…А_q. Тогда если n(А₁)=n(А₂)=…=n(А_q), n(R)=r, то a=bq+r, где 0<r<b, причем число q равночисленных множеств является неполным частным .