2.1 Постановка задачи оптимизации

При постановка задачи предполагает существование конкурирующих свойств того или иного технологического процесса, например: 1) количество продукции - расход сырья" ; 2)количество продукции - качество продукции"

Выбор компромиссного варианта для указанных свойств и представляет собой процедуру решения оптимизационной задачи.

При постановке задачи оптимизации необходимо:

1. Наличие объекта оптимизации и цели оптимизации. При этом формулировка каждой задачи оптимизации должна требовать экстремального значения лишь одной величины, т.е. одновременно системе не должно приписываться два и более критериев оптимизации, т.к. практически всегда экстремум одного критерия не соответствует экстремуму другого. Типичный пример неправильной постановки задачи оптимизации: "Получить максимальную производительность при минимальной себестоимости".

Ошибка заключается в том, что ставится задача поиска оптимума 2-х величин, противоречащих друг другу по своей сути.

Правильная постановка задачи могла быть следующая:

а) получить максимальную производительность при заданной себестоимости;

б) получить минимальную себестоимость при заданной производительности;

В первом случае критерий оптимизации - производительность а во втором - себестоимость.

2. Наличие ресурсов оптимизации, под которыми понимают возможность выбора значений некоторых параметров оптимизируемого объекта. Объект должен обладать определенными степенями свободы - управляющими воздействиями.

3. Возможность количественной оценки оптимизируемой величины, поскольку только в этом случае можно сравнивать эффекты от выбора тех или иных управляющих воздействий.

4. Учет ограничений.

Обычно оптимизируемая величина связана с экономичностью работы рассматриваемого объекта (аппарат, цех, завод ). Оптимизируемый вариант работы объекта должен оцениваться какой-то количественной мерой-критерием оптимальности. Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция, представляющая собой зависимость критерия оптимальности от параметров, влияющих на ее значение. Вид критерия оптимальности или целевой функции определяется конкретной задачей оптимизации. Таким образом, задача оптимизации сводится к нахождению экстремума целевой функции. Наиболее общей постановкой оптимальной задачи является выражение критерия оптимальности в виде экономической оценки (производительность, себестоимость продукции, прибыль, рентабельность). Однако в частных задачах оптимизации, когда объект является частью технологического процесса, не всегда удается или не всегда целесообразно выделять прямой экономический показатель, который бы полностью характеризовал эффективность работы рассматриваемого объекта. В таких случаях критерием оптимальности может служить технологическая характеристика, косвенно оценивающая экономичность работы агрегата (время контакта, выход продукта, степень превращения, температура). Например устанавливается оптимальный температурный профиль, длительность цикла - "реакция - регенерация". Но в любом случае любой критерий оптимальности имеет экономическую природу. Критерий оптимальности должен иметь ясный физический смысл ,отражать наиболее существенные стороны процесса , должен иметь количественную оценку. В том случае, когда случайные возмущения невелики и их воздействие на объект можно не учитывать, критерий оптимальности может быть представлен как функция входных (управляющих) и выходных параметров Y=f (Х). Как правило, для конкретных задач оптимизации производства того или иного вида продукции критерий оптимальности не может быть записан в виде аналитического выражения.

В принципе, для оптимизации вместо математической модели можно использовать и сам объект, однако оптимизация опытным путем имеет ряд существенных недостатков: а) необходим реальный объект; б) необходимо изменять технологический режим в значительных пределах, что не всегда возможно; в) длительность испытаний и сложность обработки данных. Наличие математической модели (при условии, что она достаточно надежно описывает процесс) позволяет значительно проще решить задачу оптимизации аналитическим либо численным методами.

Итак, для решения задачи оптимизации необходимо:

а) составить математическую модель объекта оптимизации; б) выбрать критерий оптимальности и составить целевую функцию;

в) установить возможные ограничения, которые должны накладываться на переменные;

г) выбрать метод оптимизации, который позволит найти экстремальные значения искомых величин. Пример.

2.2.Основные определения теории принятия оптимальных технических решений.

Решение многих теоретических и практических задач сводится к отысканию экстремума (наибольшего или наименьшего значения) целевой скалярной функции y= f (х), где - вектор аргументов. Вектор х*, определяющий минимум целевой функции, называют оптимальным. Отметим, что задачу максимизации f(x) можно заменить эквивалентной ей задачей минимизации или наоборот. Если х* - точка минимума функции y = f(x), то для функции y = - f(x) она является точкой максимума.

Рис.1.

В реальных условиях на переменные x i, i=1, …. n, и некоторые функции gi (х), hi(х), характеризующие качественные свойства объекта, системы, процесса, могут быть наложены ограничения (условия) вида:

g i (х) = 0, i=1, …. n 1,

h i (х) <= 0, i=1, …. n 2, (1)

a <= x <= b,

где а и б – вектора. Такую задачу называют задачей условной оптимизации. При отсутствии ограничений имеет место задача безусловной оптимизации. Каждая точка х в n-мерном пространстве переменных х1, …, хn, в которой выполняются ограничения, называется допустимой точкой задачи. Множество всех допустимых точек называют допустимой областью Х. Точка х* определяет глобальный минимум функции одной переменной у= f(x), заданной на числовой прямой Х , если x * X и f(x*) < f(x) для всех x* X (рисунок а). Точка х* называется точкой строгого глобального минимума, если это неравенство выполняется как строгое. Если же имеет место выражение f(х*) <= f(x) , то реализуется нестрогий минимум. (рисунок б).

Рис. 2. Глобальный минимум. а - строгий, б - нестрогий

На следующем рисунке показаны экстремумы функции одной переменной у=f(х) на отрезке [a, b] . Здесь х1, х3, х6 - точки локального максимума, а х2, х4 - локального минимума. В точке х6 реализуется глобальный максимум, а в точке х2 - глобальный минимум.

Рис.3. Экстремумы функции.