Дискретная математика ПМ / Пособие по Дискретной математике

5.1. Логика высказываний

Высказывание – это утверждение или повествовательное предложение, которое может быть либо истинным, либо ложным.

Значением истинного высказывания является «И» – истина, ложного – «ложь».

Повелительные («Войдите, пожалуйста»), вопросительные («Который час?») и бессмысленные предложения («Сумма пяти и восемнадцати»), в которых ничего не утверждается, не являются высказываниями.

Предметом логики является анализ различных логических связей и методы построения на их основе правильных логических рассуждений.

Способы построения новых высказываний из заданных с помощью логических связок и способы установления истинности высказываний, построенных таким образом, изучаются в логике высказываний.

Основные логические связки  это связки: и, или, не, если … то…, которые в логике высказываний имеют специальные названия и обозначения. Иногда к ним добавляют еще две связки либо …, либо …(или …, или …); если, и только если (тогда и только тогда).

Для одной и той же связки в разных источниках используются разные названия и обозначения, которые приведены в таблице 1.

Таблица 1

Связка	Название	Обозначение	Высказывание, полученное с помощью связки	Математическая запись
1. и	конъюнкция (или логическое умножение)		А и В	А  В А В А В, АВ
2. или	дизъюнкция		А или В	А  В А+ В
3. не	отрицание, инверсия		не А	, ^А
4. если …, то …	импликация		если А, то В (А влечет В)
5. либо …, либо …	исключающее «или», неравнозначность	, 	либо А, либо В	А  В А В
6. если и только если	эквивалентность, равнозначность	~, 	А, если и только если В	А  В А~ В

В последней колонке табл. 1 записаны формулы, или выражения логики высказываний. С помощью букв А, В, С, ... обозначающих высказывания, связок и скобок можно построить разнообразные формулы.

Исследование свойств таких формул и способов установления их истинности и является основным предметом логики высказываний.

Существуют два подхода к построению логики высказываний, которые образуют два варианта этой логики: алгебру логики и исчисление высказываний.

Содержание