Упражнения

1. Проверить коммутативность и ассоциативность операций.

1) сложение чисел; 2) умножение чисел; 3) сложение матриц; 4) умножение матриц (проверить на примере квадратных матриц А, В и С 2-ого порядка); 5) возведение в степень; 6)  ln xy (где х, у >0); 7) х-у; з) х/у.

2. Проверить дистрибутивность слева и справа операции ψ отношению к операции φ.

1) φ – сложение чисел, ψ – умножение чисел; 2) φ – умножение чисел, ψ – сложение чисел; 3) φ – объединение множеств, ψ – пересечение множеств; 4)  φ – пересечение множеств, ψ – объединение множеств; 5) φ – умножение чисел, ψ – возведение в степень; 6)  φ – возведение в степень, ψ – умножение чисел; 7) φ – возведение в степень, ψ – сложение чисел.

3. На множестве задать с помощью таблицы Келли операции– сложение по модулю 4 и– умножение по модулю 4. Продемонстрировать на примере их коммутативность, ассоциативность, дистрибутивностьпо отношению к, отсутствие дистрибутивностипо отношению к.

4. На множестве задать с помощью таблицы Келли операции– сложение по модулю 16 и– умножение по модулю 16.

Найти значения выражений:

1) ;

2) .

5. В конечной алгебре поля рассчитать значения выражений:

1) ;

2) .

6. В поле , операции которого заданы таблицами Келли

1) единичный элемент по операции * ;

2) единичный элемент по операции + ;

3) противоположный и обратный элемент для каждого элемента ;

4) найти значения выражений:

а) ;

б) ;

в).

5) решить систему

;

.

7. Дано множество . Задано поле, где

Найти единичные элементы по операциям и +, противоположные элементы для каждого, решить систему:

;

.

8. Доказать единственность единичного элемента в группе.

9. Доказать единственность обратного элемента в группе.

10. Пусть – ассоциативная операция, заданная на множестве А, такая что для каждого элементасуществует обратный элемент. Доказать, что.

11. Дано . На множестве А заданы преобразования. На множестве преобразованийзадана операция композиции преобразований.

Проверить, будет ли алгебра полугруппой.

12. Составить полугруппу с операцией – композиция преобразований, для которой множество подстановокявляется системой образующих.

Что надо сделать, чтобы эта полугруппа стала моноидом.

13. Пусть S – множество всех перестановок . Определить свойства алгебры. Будет ли оно группой? Будет ли группа абелевой?

14. Будет ли алгебра (B (U), ) решеткой? Изобразить диаграмму Хасса.

15. Будет ли алгебра () решеткой? Изобразить диаграмму Хасса.

16. Является ли решеткой множество целых чисел Z с операциями и, таких что для любыхвыполняется:

, .

17. Будет ли решеткой множество, диаграмма Хасса которой изображена на рисунке. Почему?

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

18. Проверить на примере выполнение условия изоморфизма между алгебрами:

1) (B (U), , ­┐) и (, ┐);

2) (, ┐); (B  (U), , ­┐) , где.

19. Определить изоморфны ли алгебры:

1) и, где гомоморфизм задается;

2) и, где гомоморфизм задается;

3) и, где гомоморфизм задается;

4) и, где гомоморфизм задается;

5) и, где гомоморфизм задается;

6) и, где гомоморфизм задается;

7) и, где гомоморфизм задается.