§5. Функциональные ряды

1. Пусть дана бесконечная последовательность функций . независимой переменнойх, имеющих общую область определения D. Ряд

называется функциональным рядом.

Примеры

1) ;

2) ;

3) .

Для каждого значения функциональный ряд превращается в числовой ряд, сходящийся или расходящийся.

Значение , при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости обозначим .

Так, для первого из приведённых примеров область сходимости – интервал (-1, 1); для второго - ряда Дирихле - область сходимости - полуось х>0; третий ряд абсолютно сходится в любой точке х, так как при любом х справедливо ; следовательно, область сходимости третьего ряда).

Типовой пример

Найти область сходимости ряда

►Интервал сходимости можно найти, применяя признак Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда. Здесь Вычислим предел

По признаку Даламбера для сходимости ряда предел должен быть меньше 1. Имеем . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Еслиx = 4, то получим ряд . Он сходится и притом абсолютно, т.к. этот ряд ведет себя как ряд. Еслиx = 2, то получим ряд . Он сходится и притом абсолютно, т.к. сходится ряд из абсолютных величин его членов. Окончательно получим, что область сходимости исследуемого ряда отрезок [2;4]. ◄

Для каждого мы получаем сходящийся числовой ряд, свой для каждого х, поэтому сумма функционального ряда есть функция , определённая на области . Так, для первого примера, как мы знаем, , т.е. на интервале (-1, 1); вне этого интервала равенство не имеет места; так, в точке х=2 ряд расходится, а . Сумма второго ряда - знаменитая функция Римана , определённая на полуоси; эта функция играет важную роль в теории чисел. Сумма третьего ряда, равна функции периода, получающаяся в результате периодического повторения функции, определённой на отрезке, по всей числовой оси.

Сумма функционального ряда - функция, встаёт вопрос о свойствах этой функции. Так, члены ряда могут иметь свойства непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и т.д. Будет ли обладать этими свойствами сумма ряда? Сумма ряда сохраняет хорошие свойства своих членов в том случае, если ряд сходится равномерно.