6. Необходимое условие экстремума функции двух переменных.

Т. Если ф–ция z=f(x;y) имеет в т.М₀(х₀;y₀) экстремум и в этой точке конечный частные производные 1–ого порядка, то они =0, т.е. f '_x(x₀;y₀)=0 и f '_y(x₀;y₀)=0.

Док–во: рассмотрим в окрестности т.М₀ только те точки, для которых у=у₀. Тогда мы получим ф–цию f (x₀;y₀) одной переменной и т.к. эта ф–ция в т.М₀ имеет экстремум при х=х₀, то её первая производная f '_x(x₀;y₀)=0.

Аналогично можно показать, что в тМ₀ f '_y(x₀;y₀)=0

Точки, в которых частные производные 1–ого порядка обращаются в 0 называются критическими или подозрительными на экстремум.