1. Математическое ожидание случайной величины

При рассмотрения числовых характеристик следует всюду различать д.с.в. ин.с.в.

Пусть д.с.в. задан законом распределения

Контроль-,

Математическим ожиданием (или средним значением) д.с.в.с заданным законом

распределения называетсячисло, равное сумме произведений всех её значений на соответствующие им вероятности.

Математическим ожиданием с.в.(сокращенно м.о.) на протяжении всей книги обозначается посредством величин:или(кратко простоили).

Таким образом, согласно определению

(1)

где суммирование в равенстве (1) ведётся по всем натуральным числам, при этом если с.в. принимает конечное значение, то будем указывать это число, если же число элементов с.в. равно бесконечности (это количество должно быть счётным!), тогда в верней части суммы будем вписать знак «». Причем ряд, в этом случае должен быть сходящимися (в противном случае с.в.не имеет м.о.), т.е.

(2) .

Пример 1. В денежной лотерее разыгрывается 1 выигрыш в 1000 у.е. , 10 выигрышей – по 100 у.е., 100 выигрышей – по 10 у.е. и 1000 выигрышей – по 1 у.е. при общем количестве билетов 10000.

1. Выписать закон распределения случайного выигрыша Хдля владельца одного билета.

2. Найти математическое ожидание выигрышного билета.

Решение. Как было показано ранее (см. тема 7, пункт 3), множество значений дискретной случайной величиныимеет вид; соответственно их вероятностей равны:

т.к. 10000 - (1+10+100+1000)=8889 – количество безвыигрышных лотерей. Закон распределения данной случайной величины имеет следующий вид

Контроль .

Первая задача решена.

Найдём математическое ожидание одного выигрышного лотерейного билета.

Следовательно, справедливая цена одного лотерейного билета должно быть 0,31 уч. ед.

Пример 2. Найти закон распределения с.в.в одном испытании. Если наступает событиеА, то; в противном случае (т.е. событие), то. Здесь. Составить закон распределения данной случайной величины и найти математическое ожидание наступления событиеА. .Составим закон распределения данной случайной величины

Контроль .

Найдём математического ожидания с.в. Х.

Замечание. Если наш эксперимент состояло бы, например, из подбрасывания монеты один раз, то

_{То есть в данном случае значение м.о. совпадает со значением вероятности наступления (или не наступления) события А.}

Пример 3.Пусть наш эксперимент состоит из подбрасывание игральной косточки (шестигранный кубик). При данном эксперименте множество значений дискретной случайной величиныравно:а их вероятностидля всех.

Следовательно, имеем таблицу распределения д. с. в. в виде:

Контроль: .

Найдём математического ожидания с.в. Х.

.

Этот пример показывает, что если с.в. принимает свои значения с одинаковыми вероятностями, то м.о. равно сумме значений с.в. помноженное на их вероятности, а это значит:

Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно выражает среднее значение случайнойозначает, что вными верояностями айного события еличины 0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 величины. А именно, т. к. ,то

(3)

Из последнего равенства заключаем, что математическое ожидание есть число, выражающее центра тяжести системы материальных точек, абсциссы которых равны возможным значениям случайной величины, а их массы равны значению их вероятности.

Для случая, когда проводится испытаний с.в.принимает значениес частотоюраз, значениес частотоюраз, и т.д. значениес частотоюраз, причем. Тогда сумма всех значений, принятыхравна,

.

Найдем так называемую «среднее арифметическую сумму -всех значений, приятых случайной величиной, разделенную на общее число испытаний:

(4) .

Отсюда, легко заметить, что , выражают относительные частоты элементов, входящие в. Поэтому отношение (4) запишем в виде

(5) .

В предположении, что число испытаний достаточно большое, тогда относительная частота приближенно равна (на основании теоремы Бернулли) вероятности появления события. После замены в равенстве (5) относительных частот на соответствующие их вероятности

получим

Следовательно, в общем случае

(6) .

Как было отмечено, в примере 3, может быть и случаи точного равенства.

Вероятностный смысл полученного результата следующее:

Математическое ожидание приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Пусть числонаименьшее из всех значений с.в. ,а число наибольшее значение из всех возможных значений с. в. .

Тогда, справедливо двойное неравенство: .

Это значить, что на числовой оси возможные значения с.в. расположены слева и справа от математического ожидания.

Теперь переходим к рассмотрению м.о. непрерывных случайных величин.

Пусть н.с.в.задана с плотностью вероятностиДопустим, что все возможные значения принадлежат отрезку [a,b]. Разобьем отрезок [a,b] начастичных отрезков длиною соответственнои выберем в каждом из них произвольную точку.

Нам нужно определить математическое ожидание непрерывной с.в. _.По аналогии с определением дискретной случайной величины, составим сумму произведений всевозможных значенийна вероятности попадания их в интервал.

С учетом того, что , имеем сумму

Переходя к пределу, когда получим определённый интеграл.

Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины,возможные значения которой принадлежит отрезку [a,b], называют определенный интеграл

(7) .

В случаях, когда возможные значения с.в.принадлежит всей числовой оси(т.е. отрезке (), тогда

(8) .

Интеграл в правой части равенства (7) предполагается абсолютно сходящимся, т.е.

(9) ,

(в противном случае н.с.в.не имеет м.о.).

Равенство (7) представляет собой интегральный аналог формулы (1).

_{Для дальнейшего, необходимо напомнить алгебраические операции над дискретными случайными величинами как числовые множества.}

Суммою (разностью, произведением) дискретной случайной величины Х, принимающей значенияс вероятностьюи д.с.в. принимающей значенияс вероятностяминазывается дискретная случайная величина;принимающей значенияс вероятностямидля всех указанных значенийи.

В случае совпадения некоторых выражений: соответствующие вероятности складываются.

Произведение д.с.в. на числос называется д.с.в., принимающая значенияс вероятностями

Две д.с.в. иназываютсянезависимыми, если события и

являются независимыми для любых , т.е.

_{В противном случае с.в. называется зависимыми. Несколько с.в. называются взаимно независимыми, если закон распределения любой из них не зависит от того, какие возможные значения приняли остальные величины.}

Свойства математического ожидания.

С.1. Математическое ожидание постоянной величиныравно самой этой постоянной, т.е.

С.2. Постоянный множитель выносится за знак математического ожидания, т.е.

.

(свойство однородности первого порядка).

Как следствие С.1.- С.2.отметим, что имеет место равенство (свойство линейности). Для любых действительных чиселиверно равенство

.

С.3. Математическое ожидание суммы (разности) двух случайных величин равно их сумме (разности) математического ожидания, т.е.

;.

С.4. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю, т.е.

.

С.5. Математическое ожидание произведениянезависимых случайных величинравно

произведению их математических ожиданий

.

Действительно, С.1. следует из того, что д.с.в.принимает лишь одно значениесвероятностью равной 1. Поэтому

2. Поскольку, д.с.в. принимает значенияс вероятностямито

.

3. Поскольку, д.с.в. принимает значенияс вероятностями

, здесь область изменения переменных суммирования,вообще говоря может быть неодинакова,

.

При выводе формулы, мы также воспользовались равенствами:

;.

Проверим первую из них. Так как

,то

Аналогично проверяется и второе равенство.

Свойство С.3. распространяется на произвольное конечное число слагаемых.

4. На основании С.1.- С.3., получим:

Разность - называетсяотклонением с. в.от ее м.о. , с.в.называетсяцентрированной случайной величиной дляс. в..

5. По условию являются, независимыми с.в., поэтому имеет место равенство

.

Следовательно, и тогда

Свойства, математического ожидания доказанные для дискретных с.в. остаются справедливыми и для непрерывных с.в. Только здесь все рассуждения проводятся согласно равенств: (7) или (8) с учетом неравенства (9). Проверим, к примеру, С.2.

_{Рассмотрим следующую известную задачу.}

_{Задача о сборе коллекции. Некий покупатель с каждой единицей купленного товара приобретает наудачу некоторый элемент «коллекции», состоящей из n различных элементов (наудачу означает, что при каждой покупке покупатель равновероятностно получает любой из этих n элементов, независимо от предыдущих приобретений). Какое среднее число покупок надо сделать, чтобы собрать полную коллекцию?}

Решение. Пусть случайная величина- число покупок, которое надо сделать, чтобы собрать полную коллекцию. А величина- количество (оно случайное) покупок, до приобретения нового элемента после того, как уже собранэлемент. Легко заметить, что. Отсюда следует, чтоТем самым, событие распадается в произведениесобытий, гдечисло необходимых покупок до приобретения нового элемента после того как уже собранэлемент.

Каждое из первых событий состоит в том, что приобретается уже имеющийся элемент из числа купленных. Вероятность такого события равна. Последнее событие состоит в том, что приобретается новый элемент, и его вероятность равна.

Используя формулу произведения вероятностей для независимых событий, получаем:

Таким образом, получим

Далее, суммируя бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, получаем:

Наконец, применяя формулу

для имеем

Следовательно,

.

Итак, для того, чтобы собрать полную коллекцию в среднем надо сделать покупок.

Известно, что (см. например, Виноградов Осн.т.ч.[])при любомсправедлива асимптотическая формула

,

Следовательно, окончательно получаем:

(!) .

Значит при больших, чтобы собрать полную коллекцию в среднем надо сделать приблизительнопокупок. Считаем полезными следующие информации для математического ожидания дискретных случайных величин.

Замечание. Если дискретная случайная величина , принимающаяразличных значений, инекоторая взаимно однозначная функция, то с.в.принимает значенияс вероятностями( для д.с.в., величинатоже является д.с.в. со значениямис той же вероятностью). Поэтому, справедливо равенство

.

Отметим важный случай. Определим для множества функцию:

Функция называетсяиндикатором множества . Для д.с.в.отметим следующий результат:пусть - счётное множество,Тогда справедливо соотношение

.

Если н.с.в. задана с плотностью распределенияи- некоторая непрерывная функция, то математическое ожидание случайной величинывычисляется по формуле

.

Если где- интервал или объединение интервалов такого вида, справедливо соотнощение

Где функция являетсяиндикатором множества , т.е.

Неравенство Коши-Буняковского для математического ожидания. Для любых с.в. исправедливо неравенство

.

Доказательство. Для любых вещественных чисел и справедлива эквивалентность

.

На основании этого неравенства и свойства м.о. получим

.

Полагая в этом равенстве , получаем наше утверждение. В частности, для, имеем:для любой случайной величины справедливо неравенство