7. Функция надёжности, показательный закон надёжности

В настоящем пункте условимся называть элементом некоторое устройство независимо оттого, что оно «простое» или «сложное». Пусть элемент начинает работать в момент времени, а по истечении времени длительностьюпроисходит отказ. Обозначим через- непрерывную случайную величину «длительность времени безотказной работы элемента за время». Если элемент проработал безотказно некоторое время (скажем), меньшее чем, а затем перестал работать, тогда обязательно за время длительностьюнаступит отказ работы элемента.

Таким образом, функция распределения определяет вероятность отказа за время длительностьюСледовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью, (т.е. вероятностью противоположного событияравна

(25) .

Функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью , называют функцией надёжности:

Далее, определим так называемый показательный закон надёжности. Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого (см. равенство 1. п. 6., теорема 6) равна

(26) ,

где интенсивность отказов, т.е. среднее число отказов за единицу времени.

Следовательно, в силу формул (25) и (26) для функции надёжности в случае показательного распределения вероятность безотказной работы элемента за время длительностью получим равенство

.

Показательным законом надёжности называют функцию надёжности, определённую равенством

(27) .

Как следует из формулы (27), если время безотказной работы элемента имеет показательное распределение, то эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью .

Пример 10. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону

.

Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

Решение. По условию постоянная интенсивность отказов Воспользуемся равенством (27), тогда

Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч., приближённо равна Далее, также следует отметить о том, что функция надёжности связана с простейшим потоком события (см. Т. 6., п.3.), где в распределении Пуассона, при

Полученное равенство ещё раз подтверждает следующего факта: если отказы элементов в случайные моменты времени образуют«простейший поток», то вероятность того, что за время длительностьюне наступит ни одного отказа.

Наконец, отметим, что имеет место и другое важное равенство плотность показательного распределения.