8. Производящая функция

Для вычисления важнейших числовых характеристик дискретных случайных величин с целыми неотрицательными значениями удобно пользоваться так называемыми производящими функциями (мы уже в теме 7, п.5, упоминали кратко о частных случаях производящих функций, которых просто можно назвать «многочленного вида»).Здесь они рассматриваются в виде степенных рядов, т.е это понятие обобщается для бесконечного числа слагаемых.

Рассмотрим д.с.в., которая принимает неотрицательные целые значенияс соответствующими вероятностями.

Производящей функциейнеотрицательной целочисленной д.с.в.называется функция, определённая равенством

(36)

где комплексное число,Следует отметить, что для всехряд(36), определяющий производящую функцию, равномерно сходится.

Действительно,

.

Замечание. Производящая функция однозначно определяет распределения с.в., так как, эти коэффициенты производят данного степенного ряда, т.е.

(37)

Действительно, дифференцируя под знаком суммы (это действие законно в области обсолютной и равномерной сходимости функциональных рядов), получим

(38).

где

Отсюда легко заметить, что при все слагаемые в правой части (38), кроме первого, обращаются нулю. Первое же слагаемое равноТем самым, равенство (37) получено.

Утверждение (о вычислении моментов). Пусть неотрицательная целочисленная случайная величинаимеет моментго порядка. Тогда справедливы равенства

(39) .

Доказательство леммы непосредственно выводится из формулы (38), если в ней положить . Из этой леммы получим следующие равенства.

Следствие. Справедливы равенства

(40) ;;

_,

где соответственно первое и второе производных от функции .

Доказательство. Первая формула очевидна, т.к. согласно закону распределения д.с.в.«контроль»всегда должна выполняться, т.е множество рассматриваемая с.в формируется из полной группы событий, также отметить, что когда с.в. конечная, то множество её значений можно дополнить до бесконечности с соответствующими вероятностями равными нулю.

Далее, дифференцируя один раз (), по производящую функцию, имеем равенство

Теперь, в этом равенстве положим , тогда получим

,

где

- биномиальные коэффициенты. Следовательно,

.

Взяв вторую производную от функции (т.е.), а затем, положив в нейполучим:

где соответственно начальные моменты 2-го и 1-го порядков. Отсюда с учётом вычислительной формулы (35) , получим;

Следовательно, . Утверждение полностью доказано.

Полученные формулы (40) используются для нахождения м.о., дисперсии случайных величин.

Свойства производящих функций.

1. ||для всех | z |.

Действительно, так как д.с.в., неотрицательна, то по определению имеем

||

2. Для произвольных вещественных чисел ивыполняется равенство

.

Доказательство, на основании линейного свойства математического ожидания имеем

,

Отсюда, с учётом определения производящей функции, имеем

.

3. Если инезависимые случайные величины, то

.

Доказательство, по свойству С.5. математического ожидания и определения производящей функции получим

.

Поскольку, инезависимые случайные величины, то

,

поэтому,

=.

Свойство 3. доказана.

Задача. Найти закон распределения случайной величиныс заданной производящей функции

Решение. Имеем,следовательно, сравнивая с определением функции,будем иметь:

при всех .

Пример 6. Производится три независимых выстрела по цели тремя расчётами:

1. Вероятности попадания по цели каждого расчёта одинаковы и равны.

Найти

а) с.в.и закон её распределения;

б) Выписать производящую функцию д.с.в.

в) Найдите

Решение.

1. Сначала составим закон распределения с.в.. Найдём всевозможные случаи

.

Тем самым, с. в. . Соответственно с вероятностями попадания в цельи непопаданияи с учетом независимости событий, будем иметь:

Следовательно, закон распределения с.в.имеет вид:

Контроль:.

Выпишем производящую функцию случайной величины

Вычислим первое и второе производных этой функции:

Следовательно,

Задание. Решите аналогичную задачу, с вероятностью и сравните полученные результаты рассеивания (значения дисперсий).

2. Пусть вероятность попадания расчётов соответственно равны:

а) Найдите множество значений с.в.и закон её распределения;

б) Выпишите производящую функцию д.с.в.

в) Найдите