5. Производящая функция дискретной случайной величины

Кратко остановимся на понятие производящей функции конечных дискретных случайных величин.

Функцию определённую равенством , где некоторый параметр называют производящей функцией для последовательности повторных независимых опытов. Очевидно, что приимеет место равенство

,

для любого натурального числа

Пусть производится испытаний, причём в первом испытания вероятность появления событияравнаво втором равнавм испытании равнаи вероятностинепоявлениясобытиясоответственно равныЗаобозначим вероятность появления событиявиспытаниях ровнораз.

Производящей функцией вероятностей называют функцию, определяемую равенством

()

Таким образом, вероятность равна коэффициенту прий степени многочлена, определённой равенством (), т.е. равна коэффициенту прив разложении производящей функции по степеням.

Замечание. Отметим, что придолжно выполняться равенство (обычно называется контроль).

().

При имеем равенство

.

Следовательно, коэффициент при равно, приравнои при.

Следует заметить, что если в различных испытаниях появляется различные события (в первом испытании событие , во втором событиеи т.д.), то изменяется лишь истолкование коэффициентов при различных степенях. Например, в равенстве () коэффициентопределяет вероятность появления двух событийи.

Пример 8. Устройство состоит из трёх независимо работающих элементов. Вероятности безотказной работы элементов (за время) соответственно равныНайти вероятности того, что за времябудут работать безотказно:

а) все три элемента работают;

б) два элемента работают;

в) один элемент работает;

г) ни один из элементов не будет работать.

Решение. Вероятности безотказной работы элементов соответственно равныСледовательно, вероятности того, что элементы откажут, соответственно равны

Составим производящую функцию:

а) Вероятность того, что три элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при

б) Вероятность того, что два элемента будут работать безотказно, равна коэффициенту при

в) Вероятность того, что один элемент будет работать безотказно, равна коэффициенту при

г) Вероятность того, что ни один из элементов не будет работать безотказно, равна свободному члену:

Легко видет, что выполняется контроль:

.

Задания. Покажите, что

1. гдештрихозначаетю производную функциипо параметрупричём

2.

3.,

гдечисло размещений изэлементов по.

Заметим, что вероятности ,являются коэффициентами при степенив разложении

.