Метод наименьших квадратов

1) Выравнивание по прямой.

Пусть дана таблица (1). Построим на пл–ти точки (х_і;у_і). Предположим, что точки распологаются вдоль некоторой прямой у=ах+b. Переберем параметры а и b таким образом, чтобы прямая наиболее близко подходила к данным точкам.

Е₁=ах₁+b-y₁

Е₂=ах₂+b-y₂

……………………….

Е_n=ах_n+b-y_n Для определения параметров а и b используем метод наименьших квадратов. Суть метода в том, чтобы определить а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Выясним при каких значениях а и b ф–ция Ф(а;b) принимает наименьшее значение

Найдём критические точки:

Это нормальная система метода наименьших квадратов.

Решив эту систему найдём координаты критических точек. Можно док–ть, что в найденной критической точке ф–ция Ф(а;b) имеет min.

2) Выравнивание по параболе y=ax²+bx+c. По аналогии с линейной ф–цией составляем ф–цию Ф(a,b,c)? которая даёт сумму квадратов отклонений, и находим её наименьшее значение:

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, после преобразований получим линейную систему трёх уравнений с тремя неизвестными a,b,c:

Можно док–ть, что определитель этой системы не равен нулю, а следовательно, система имеет единственное решение