5. Применение цпт

1.Обоснование роли нормального закона.Предположим, что проводится измерение какой – либо физической величины. На результат измерения влияет огромное число случайных факторов, таких, как влияние атмосферных условий, физическое состояние экспериментатора, неустойчивое состояние измерительного прибора, и т.п. Каждый из этих факторов, взятый в отдельности, порождает незначительную погрешностьпри измерении данной величины. Итоговая ошибкабудет, следовательно, суммой большого числа очень маленьких с.в.; и закон распределения каждой из этих величин заранее нам неизвестен. Тем не менее, можно с уверенностью заключить, что вся суммарная ошибкабудет иметь закон распределения, близкий к нормальному закону.

В полном соответствии со сказанным выше при математическом обработке результатов измерений исходят из следующего постулата: случайная ошибка измерения подчиняется нормальному закону распределения. Поэтому, из параметров этого закона один из них, а именно м.о., равен нулю. Второй параметр –среднее квадратичное отклонение, которое характеризует в известном смысле стандартность измерения.

Другой важный пример, иллюстрирующий роль нормального распределения в приложениях теории вероятностей, дает массовое производство, существующее во многих отраслях современных производственных процессов. В процессе массового производства изготовляются большие партии однотипных изделий. Все наиболее существенные характеристики выпускаемых изделий должны естественно соответствовать определенному стандарту, в какой бы стране они ни выпускались. Вот некоторые из них: все размеры одежды, электрические приборы, запасные части многих видов автомобилей, приборы различных видов и назначений, одним словом, все виды различных предметов массового потребления и т.д.). Однако в реальности наблюдаются отклонения от стандарта, которые порождаются причинами случайного характера (следует учесть, что выпуск изделий связан, как правило, с большим числом операций, по этой причине некоторые из них не могут быть выполнены абсолютно точно). Каждая из этих причин сама по себе порождает лишь ничтожную ошибку , но, складываясь, такие ошибки могут давать вполне ощутимые отклонения от стандарта. И здесь, так же как в случае ошибок измерений, имеются основания считать, что суммарное отклонение от стандарта следует нормальному распределению.Подобных примеров можно привести очень много из самых различных областей науки и техники. Они объясняют, почему нормальный закон так часто возникает в задачах прикладного характера.

2⁰. Связь с приближенной формулой Лапласа. Пусть производится независимых опытов, в каждом из которых с одной и той же вероятностью наступает событие . Рассмотрим случайную величину- число наступлений события в опытах. Очевидно,

,

где обозначает число наступлений событияв- м опыте (). Случайные величиныимеют один и тот же закон распределения, так что условия теоремы Ляпунова здесь налицо. Но тогда должна быть справедлива интегральной предельной теоремы Лапласа (28), которая в данном случае принимает вид:

(29)

(напомним, что , а, где. Покажем, что из него следует интегральная приближенная формула Лапласа (формула (26) из п. 11.4.). Событие

равнозначно

.

Положим,

, ,

так что

, .

Теперь левая часть формулы (29) запишется:

(30)

правую же часть, учитывая соотношение

(где - функция Лапласа, можно представить как

(31) .

Приравнивая выражение, стоящее под знаком предела в (30), к выражению (31), получаем приближенное равенство

,

которое есть не что иное, как интегральная приближенная формула Лапласа.

3⁰. Опыт Гальтона. Наглядной иллюстрацией центральной предельной теоремы служит эксперимент, предложенный английским статистиком Ф. Гальтоном (1822-1911).

Для эксперимента берется Доска, в которую в шахматном порядке забиты гвоздики (рис. ?). Доска устанавливается в наклонном положении. Вверху доски имеется воронка, куда можно сыпать шарики (например, ружейную дробь). Расстояние между любыми двумя соседними по горизонтали гвоздиками одно и то же. Это расстояние несколько больше диаметра шарика, так что шарик может свободно проскакивать между гвоздиками.

Выйдя из воронки, каждый шарик сталкивается с самым верхним из гвоздиков и отскакивает от него к одному из двух ближайших гвоздиков второго ряда, затем к к одному из двух гвоздиков третьего ряда и т.д. У нижнего края доски сделаны бункеры, куда собираются шарики после всех столкновений с гвоздиками.

Сюда перенести рисю. 45 из кн. Солодовников астр 165.

Направим ось вдоль нижнего ребра доски, поместив начало в центре указанного ребра; за единицу масштаба примем расстояние между соседними гвоздиками.

Рассмотрим траекторию одного из шариков. Обозначим через смещение вдоль оси, полученное шариком между первым и вторым столкновениями с гвоздиками, через - смещение, полученное между вторым и третьим столкновениями, и т.д. Обозначим через суммарное смещение, полученное после прохождения всех рядов гвоздиков.Следовательно, имеем:

,

где есть число горизонтальных рядов гвоздиков.

Каждая из величин представляет собой случайную величину, принимающую только два значения,и, с равными вероятностями Математическое ожидание каждого равно , а дисперсия.

Предполагая число достаточно большим, получим на основании центральной предельной теоремы, примененной к сумме большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин, чтоимеет распределение, близкое к нормальному, с центром в точкеи средним квадратичным отклонением.

Если пропустить через воронку достаточно большое число шариков, то количество шариков, проскочивших в - й бункер (т.е. в бункер с абсциссой ) будет равно

.

Иначе говоря, кривая, огибающая верхний ряд шариков, должна иметь приближенно уравнение вида

.

Проделав описанный эксперимент, можно убедиться, что кривая, составленная верхними шариками, действительно имеет указанную форму.