Вопрос 28. Свойства бесконечно малых функций

  Опираясь на правила вычисления пределов, можно сформулировать свойства бесконечно малых: алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функций при x → x₀, а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при x → x₀:

  Все сказанное о бесконечно малых функциях при x → x₀ справедливо и для бесконечно малых функций при

 x → ∞, x → + ∞, x → – ∞, x → x₀ – 0, x → x₀+ 0.

Сравнение бесконечно малых функций

  Пусть α(x) и β(x) две бесконечно малые функции при x → x₀ и β(x) отлична от нуля в некоторой окрестности точки х₀ (за исключением, быть может, самой точки х₀). Если

 = 0,

то α(x) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем β(x) . В этом случае пишут α(x) = (β(x)) и говорят α(x) есть о − малое от β(x).   Если

 = А ≠ 0 ( A - число),

то бесконечно малые α(x) и β(x) имеют одинаковый поряок малости. В этом случае пишут α(x) = (β(x)), (α(x) есть O - большое от β(x).    Если

 = ∞,

то α(x) называется бесконечно малой более низкого порядка, чем β(x).    Если

 = 1,

то α(x) и β(x) называется эквивалентными бесконечно малыми, α(x) ~ β(x).   В некоторых случаях недостаточно знать, что одна из двух бесконечно малых является бесконечно малой более высокого порядка, чем другая. Нужно еще оценить, как высок этот порядок. Поэтому вводится следующее правило: если

,

то α(x) является бесконечно малой n -го порядка относительно β(x).   Теорема. Для того, чтобы две функции f = f (x) и g = g (x), f (x) ≠ 0, g (x) ≠ 0, были эквивалентными при х → х₀, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из условий

f - g = (f ) или f - g = (g).

Первый замечательный предел: http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%E0%EC%E5%F7%E0%F2%E5%EB%FC%ED%FB%E5_%EF%F0%E5%E4%E5%EB%FB