Вопрос 34 (35) Условия монотонности функции

(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция   непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке  производную f'(x). Тогда

f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда 

f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда 

(Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция   непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке  производную f'(x). Тогда

если   то f строго возрастает на (a,b);

если   то f строго убывает на (a,b).

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно бытьплотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть   и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда fстрого возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

"Условия монотонности функции (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале): Пусть функция непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке производную f'(x). Тогда - f НЕ УБЫВАЕТ на (a,b) тогда и только тогда, когда ...далее по тексту f НЕ ВОЗРАСТАЕТ на (a,b) тогда и только тогда, когда ...далее по тексту"

Экстремум функции

Функция y=f ( x ) называется возрастающей ( убывающей ) в некотором интервале, если при x ₁ < x ₂ выполняется неравенство f (x ₁ ) < f (x ₂ ) ( f (x ₁ ) > f (x ₂ )).

Если дифференцируемая функция y = f ( x ) на отрезке [ a , b ] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ( x ) 0 ( f ( x ) 0).

Точка x _о называется точкой локального максимума ( минимума ) функции f ( x ), если существует окрестность точки x _о , для всех точек которой верно неравенство f ( x ) f ( x _о ) ( f( x ) f ( x _о )).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума . Если точка x _о является точкой экстремума функции f ( x ), то либо f ( x _о ) = 0, либо f ( x _о ) не существует. Такие точки называюткритическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть x _о - критическая точка. Если f ( x ) при переходе через точку x _о меняет знак плюс на минус, то в точке x _о функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x _о экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f ( x ) имеет производную  f ( x ) в окрестности точки x _о и вторую производную    в самой точке x _о . Если f ( x _о ) = 0,   >0 (   <0), то точка x _о является точкой локального минимума (максимума) функции f ( x ). Если же   =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [ a,b ] функция y = f ( x ) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [ a,b ].