§ 4. Abc – Теорема для многочленов и её следствия

Теоретико-числовая abc-проблема формулируется следующим образом: при любом  > 0 существует такая константа K(ε) > 0, что для всех ненулевых взаимно простых натуральных чисел a, b, c со свойством a + b = c, верно неравенство c  K(ε)·(r(abc))^1+ , где для заданного натурального числа n с каноническим разложением n = символr(n) обозначает выражение p₁ … p_k и называется радикалом числа n.

Именно в таком довольно неестественном виде эта гипотеза была сформулирована Массером и Остерле в 1986 г. Её значение состоит в том, что в случае её справедливости получаются изящные и короткие доказательства известных трудных теорем теории чисел, в том числе и доказательство Великой теоремы Ферма. Массер и Остерле не сразу сформулировали эту гипотезу. Они работали над много более общей задачей, которая ни в коей мере не элементарна. abc-гипотеза возникла из глубокого изучения алгебраической геометрии и теории модулярных функций, которые слишком сложны, чтобы их здесь обсуждать.

Следует упомянуть, что аналог этой гипотезы может быть доказан для многочленов над полем комплексных чисел. Этот интересный, и что более удивительно, ранее неизвестный факт доказал в 1983 г. Р. Мейсон [20]. Впоследствии обнаружилось, что полученный им результат в действительности уже был открыт ранее В. Стотерсом [21], но математики не обратили внимания на эту работу.

Теорема (Мейсона-Стотерса). Пусть a(t), b(t), c(t)  C[t] – не равные константе взаимно простые полиномы со свойством a(t) + b(t) = c(t). Тогда max(d(a) , d(b), d(c)) < r(abc) – 1, где для заданного многочлена p(t) с каноническим разложением p(t) = символr(p) обозначает выражение p₁(t) … p_k(t) и называется радикальным многочленом для p(t).

Замечание: На самом деле r(p) – это просто количество различных корней многочлена p(t) в поле комплексных чисел без учёта их кратностей. Действительно, все простые многочлены p₁(t), … , p_k(t) в каноническом разложении многочлена p(t) имеют степень 1 и определяют один корень многочлена, так что для многочлена p(t) = верно r(p) = k – количество различных корней многочлена.

Доказательство. Данное доказательство принадлежит ученику выпускного класса Н. Снайдеру, который нашёл его после беседы с С. Ленгом, сформулировавшим для него теорему Мейсона-Стотерса. Сейчас этот школьник окончил гарвардский университет.

Лемма. Пусть f(t) – многочлен положительной степени, f(t) – его производная. Тогда d(f) = d(НОД(f , f ')) + r(f).

Доказательство. Во-первых, сделаем замечание о корнях полинома f(t). Пусть  – корень f(t), т.е. такое комплексное число, что f() = 0. Разложим f(t) по степеням двучлена t – , записав f(t) = f_n(t – )ⁿ + … + f_k(t – )^m, где f_n  0  f_m , m  1 – кратность корня  . Тогда можно вычислить производную f(t) = nf_n(t – )^n–1 + … + mf_m(t – )^m–1, т.е. m – 1 является наибольшей степенью двучлена t –  , делящей f(t).

Пусть теперь ₁ , … , _r – все различные корни многочлена f(t) кратностей m₁ , … , m_r соответственно. Тогда f(t) = . Сделанное в предыдущем абзаце замечание и однозначность разложения на множители дают разложение НОД(f , f ) = для некоторой ненулевой константы p_n . Поэтому

d(f) = m₁ + … + m_r = (m₁ – 1) + … + (m_r – 1) + r = d(НОД(f , f)) + r(f).

Лемма доказана.

Закончим доказательство теоремы Мейсона-Стотерса. Прежде всего, три многочлена D_a(t) = НОД(a , a), D_b(t) = НОД(b , b), D_c(t) = НОД(c , c') попарно взаимно просты. Действительно, любой делитель первых двух является общим делителем a(t) и b(t), а значит, тривиален. Точно так же общий делитель, например, первого и третьего из этих многочленов будет общим делителем a(t) и c(t), и делителем c(t) – a(t) = b(t), откуда снова следует тривиальность этого общего делителя.

Далее, из условия a(t) + b(t) = c(t) получаем аналогичное соотношение a(t) + b(t) = c(t) для производных. Значит,

a(t)b(t) – a(t)b(t) = a(t)(a(t) + b(t)) – a(t)(a(t) + b(t)) = a(t)c(t) – a(t)c(t).

При этом D_a = НОД(a , a) и D_b(t) = НОД(b , b) делят левую часть, а многочлен D_c(t) = НОД(c , c') делит правую часть, а значит, и левую. Поскольку все эти три многочлена попарно взаимно просты, то левая часть рассматриваемого равенства a(t)b(t) – a(t)b(t) делится и на произведение этих трёх многочленов D_a(t)D_b(t)D_c(t). Тогда

d(D_aD_bD_c) = d(D_a) + d(D_b) + d(D_c)  d(a(t)b(t) – a(t)b(t)) 

 max{d(a(t)b(t)), d(a(t)b(t))}  d(a) + d(b) – 1.

Прибавляя d(c) к обеим частям и переставляя слагаемые, получим

d(c) + d(D_a ) + d(D_b ) + d(D_c )  d(a) + d(b) + d(c) – 1,

т.е. d(c)  d(a) – d(D_a ) + d(b) – d(D_b ) + d(c) – d(D_c ) – 1.

Согласно лемме получаем d(c)  r(a) + r(b) + r(c) – 1 = r(abc) – 1 ввиду взаимной простоты многочленов a(t), b(t), c(t).

Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые следствия доказанной abc – Теоремы для многочленов, иллюстрирующие её скрытую силу.

Теорема (Великая теорема Ферма для многочленов). Уравнение x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ с неизвестными многочленами x(t), y(t) и z(t)  C[t] при n  3 допускает только тривиальные решения: либо один из многочленов x(t), y(t), z(t) нулевой, либо все эти многочлены являются константами.

Доказательство. Пусть x(t), y(t), z(t) – тройка ненулевых многочленов со свойством x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ. Если хотя бы один из этих многочленов не является константой, то можно выбрать такую нетривиальную тройку с наименьшей суммой d(x) + d(y) + d(z).

Прежде всего, можно считать эти многочлены попарно взаимно простыми. Действительно, если, например, p(t) – неразложимый многочлен положительной степени, делящий какие-то два из рассматриваемых многочленов, то, очевидно, что он делит и n-ю степень третьего многочлена, а значит, делит и сам третий многочлен. Таким образом, x(t) = p(t)u(t), y(t) = p(t)v(t), z(t) = p(t)w(t), и сократив равенство x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ на p(t)ⁿ получим, что u(t)ⁿ + v(t)ⁿ = w(t)ⁿ, причём

d(u) + d(v) + d(w) = d(x) – d(p) + d(y) – d(p) + d(z) – d(p) < d(x) + d(y) + d(z),

вопреки предположению о минимальности последней суммы степеней.

Итак, можно считать, что тройка x(t), y(t), z(t) нетривиальна и состоит из попарно взаимно простых многочленов. Тогда взаимно просты и многочлены a(t) = x(t)ⁿ, b(t) = y(t)ⁿ, причём a(t) + b(t) = c(t) = z(t)ⁿ. По abc – Теореме имеем

max(d(a) , d(b), d(c))  r(abc) – 1 = r(a) + r(b) + r(c) – 1,

nmax(d(x), d(y), d(z))  r(x) + r(y) + r(z) – 1  d(x) + d(y) + d(z) – 1.

В частности, отсюда следует, что nd(x)  d(x) + d(y) + d(z) – 1, т.е.

(n – 1)d(x)  d(y) + d(z) – 1.

Аналогично, (n – 1)d(y)  d(x) + d(z) – 1, (n – 1)d(z)  d(x) + d(y) – 1. Складывая три полученных неравенства, приходим к оценкам

(n – 1)(d(x) + d(y) + d(z))  2(d(x) + d(y) + d(z)) – 3,

(n – 3)(d(x) + d(y) + d(z))  – 3,

что невозможно при n  3.

Теорема доказана.

Замечание. Как и для натуральных чисел, уравнение Ферма для многочленов при n = 2 имеет бесконечно много решений, например, такие:

x(t) = 2u(t)v(t), y(t) = u(t)² – v(t)², z(t) = u(t)² + v(t)²

при любых u(t), v(t)  C[t].