О распределении простых чисел

Для каждого положительного действительного числа x обозначим через (x) количество простых чисел в интервале (–, x]. Таким образом, получаем отображение  : R N (называемое функцией Чебышева), значение которого можно вычислить для любого конкретного x  R. Например, (x) = 0 при x < 2, (2) = 1 = (2,99), (3) = 2, (10) = 4 = (7,001). Возникает вопрос о поведении функции (x), более точно – о её порядке роста. Ограничимся только формулировками самых ранних и простых (но далеко не очевидных) результатов на эту тему:

Теорема (неравенства Чебышева). (1) Существуют такие константы 0 < a < 1 < b (например, годятся a = 0,92129, b = 1,0555), что для всех достаточно больших значений x  R верны неравенства

.

Эта теорема была доказана в 1850 г. Кроме того, П.Л.Чебышевым было доказано, что если существует , то он равен 1. Существование же этого предела удалось доказать только спустя полвека, используя теорию функций комплексного переменного.

Теорема (Адамар, Валле-Пуссен) Предел существует и равен 1 (асимптотический закон распределения простых чисел).

В той же основополагающей работе П.Л.Чебышева, было дано доказательство следующей известной гипотезы

Теорема (постулат Бертрана). Для любого натурального числа n на отрезке [n; 2n] содержится хотя бы одно простое число.

В то же время, как показывает следующая теорема, существуют сколь угодно длинные отрезки, не содержащие простых чисел.

Теорема (о сколь угодно длинных отрезках, не содержащих простых чисел). Для любого натурального п на отрезке [п! + 2, п! + п] нет ни одного простого числа.

Доказательство. Любое число из рассматриваемого отрезка имеет вид п! + k, где 2  k  n , и делится на k.

Теорема доказана.

Хотя современная теория чисел продвинулась далеко вперёд, многие вопросы о простых числах остаются нерешёнными и по сей день. Например, до сих пор неизвестно – конечны ли множества простых чисел вида 1 + n² и 1 + 2ⁿ (n  Z).