§ 6. Уравнение Ферма-Пелля

Так называется диофантово уравнение x² – Ay² = 1, где A  N. Его исследование было начато П. Ферма, а окончательное описание решений получено Л. Дирихле. Дж. Пелль не имеет к решению этого уравнения никакого отношения, его имя ошибочно связал с этим уравнением Л. Эйлер.

I. Рациональные решения. Вначале найдём все рациональные решения уравнения Ферма-Пелля.

Кривая  с уравнением Ферма x² – Ay² = 1 имеет канонический вид и, как известно, является гиперболой с вершинами(±1; 0) и асимптотами y = ± x .

Выберем на ней рациональную точку – её вершину S(1; 0), с помощью которой проведём параметризацию остальных рациональных точек этой кривой.

Если точка M(r ; s)   рациональна, т.е. r, s  Q , то прямая (MS) имеет каноническое уравнение  y = и угловой коэффициент k =  Q .

Обратно, если задан угловой коэффициент k  Q , то можно найти все точки пересечения прямой y = k(x – 1), проходящей через точку S, с кривой x² – Ay² = 1 : одна из них S, а вторая находится из соотношений

x² – Ak²(x – 1)² = 1  (x – 1)(x + 1) = Ak²(x – 1)² 

 (1 – Ak²)x = –1 – Ak²  .

Знаменатель последнего выражения не обращается в ноль, если число A не является квадратом рационального числа: 1 – Ak² = 0  A = . В случае натурального параметра A это возможно только если A полным квадратом. Действительно, если – несократимая дробь, тоA =   Ap² = q² и т.к. p и q взаимно просты, то A = mq, mp² = q, а значит, m = qs, sp² = 1 и s = 1, p = ±1, а A = q².

Теорема (о рациональных решениях уравнения Ферма-Пелля). Все рациональные точки кривой x² – Ay² = 1 (A  N) имеют вид M(x ; y), где

• (k  Q), если A не является полным квадратом;

• (k  Q \ {}), если A = B² ;

II. Целочисленные решения. Теперь рассмотрим целочисленные решения уравнения Ферма. Прежде всего, заметим, что имеет смысл рассматривать только уравнения, в которых A не является полным квадратом: если A = B², то

x² – Ay² = 1  x² – B²y² = 1  (x + By)(x – By) = 1 

 .

Такие решения назовём тривиальными.

1. Арифметика чисел x + y (x, y  Z). Левая часть уравнения Ферма-Пелля разложима на множители: x² – Ay² = (x + y)(x – y). Поэтому числа вида x + y, где x, y  Z , играют важную роль в исследовании решений этого уравнения. Обозначим

K = {x + y  R | x, y  Z}.

В дальнейшем будем отождествлять решение (x; y) этого диофантова уравнения с числом x + y.

Для любого числа x + y определим норму N(x + y) = x² – Ay².

Следующие формулы показывают, что множество рассматриваемых чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения, оно содержит 0 и 1, –1:

(x + y) + (z + t) = (x + z) + (y + t),

(x + y) – (z + t) = (x – z) + (y – t),

(x + y)(z + t) = (xz + Ayt) + (xt + yz),

0 = 0 + 0, 1 = 1 + 0, –1 = –1 + 0.

Для двух чисел x + y, z + t  K можно вычислить их частное

,

которое не обязательно принадлежит K. Однако это частное принадлежит K, если xz – Ayt  z² – At² и –xt + yz  z² – At². Эти условия выполняются, например, в случае N(z + t) = z² – At² = ±1.

Для числа  = x + y  K определим = x – y  K – сопряжённое число к  . Легко проверить следующие свойства сопряжённых чисел:

, ,

,

N(±1) = 1, N(0) = 0.

Кроме того, норма от произведения чисел равно произведению норм:

N() = () = ()() =  = N()N().

Ясно, что решения уравнения Ферма-Пелля имеют единичную норму. Значит, множество решений замкнуто относительно умножения и деления.

2. Приближение действительных чисел рациональными. Напомним лемму, доказанную ранее с помощью принципа Дирихле.

Лемма (о приближении действительных чисел рациональными). Для любого действительного числа r > 0 и произвольного n  N найдутся такие натуральные числа a, b  N, где 1  b  n, что |br – a|  .

Будем использовать её для r = .

3. Существование решения уравнения Ферма-Пелля. Докажем, что при любом A  N диофантово уравнение x² – Ay² = 1 имеет нетривиальное решение, в котором y  0.

Зафиксируем произвольное n  N и, пользуясь доказанной леммой, найдём a_n  Z и 1  b_n < n со свойством |a_n – b_n| < . Тогда

|a_n² – Ab_n²| = |a_n – b_n||a_n + b_n| < |(a_n – b_n) + 2b_n| 

 (|a_n – b_n| +2|b_n|) <(+ 2n) = 2+ 2+ 1.

Поэтому натуральная величина |a_n² – Ab_n²| принимает лишь конечное число значений на парах (a_n ; b_n) при n  N. Количество таких пар бесконечно, т.к. величина |a_n – b_n| < стремится к нулю при n   и не может быть равной нулю, поскольку иррационален. По принципу Дирихле получаем, что некоторое значение c величины |a_n² – Ab_n²| принимается бесконечное число раз. Пусть M = {(a; b)  Z² | |a² – Ab²| = с} – бесконечное множество. Если c = 1, то всё доказано: при a² – Ab² = – 1 квадрат (a + b)² = (a² + Ab²) + 2abбудет решением, т.к. N(²) = N()².

Поскольку множество M бесконечно, а множество остатков при делении на c конечно, то найдутся две такие различные пары (a₁ ; b₁), (a₂ ; b₂)  M, что |a₁² – Ab₁²| = c = |a₂² – Ab₂²| и a₁  a₂ , b₁  b₂ (mod c). Для доказательства достаточно по принципу Дирихле раскладывать пары (a; b)  M по кучам (r; s) – всем парам остатков от деления на c (0   c).

Поскольку знаки чисел x, y в решении x + y можно менять произвольно, будем считать, что a_i > 0, b_i > 0 (i = 1, 2).

Теперь получаем

Поскольку a₂² – Ab₂² = c и a₁  a₂ , b₁  b₂ (mod c), то a₁a₂ – Ab₁b₂   a₁² – Ab₁² = c  0, –a₁b₂ + b₁a₂  –a₁b₁ + b₁a₁ = 0 (mod c).

Поэтому числа  Z, причём

x² – Ay² = (x + y)(x – y) = = ±1.

При этом y  0: если y = 0, то x = ±1 = x + y= , т.е. вопреки выбору получаем (a₁ ; b₁) = (a₂ ; b₂).

Найденное нетривиальное решение  = x + yпорождает бесконечную серию решений  ⁿ (n  Z), которые все различны как степени числа, не равного по модулю единице.

Итак, доказана

Теорема (о существовании нетривиальных решений уравнения Фер­ма-Пелля). Уравнение Ферма-Пелля x² – Ay² = 1 имеет бесконечное количество нетривиальных решений.

4. Структура решений. Ясно, что если x + y–решение, то числа (–x) + y,x + (–y), (–x) + (–y)тоже являются решениями. Поэтому с любым нетривиальным решением, у которого y  0, уравнение Ферма-Пелля имеет и положительное решение, у которого x > 0, y > 0. Положительное решение x₀ + y₀с наименьшим значением x во множестве всех положительных решений назовём основным.

На самом деле 1 + <x₀ + y₀ x + yдля каждого положительного решения x + y. Действительно, неравенство 1+<x₀+y₀очевидно. Второе неравенство следует из минимальности x₀ и соотношений x² – Ay² = 1 = x₀² – Ay₀² : 0  x² – x₀² = A(y² – y₀²), т.е. y  y₀ , x  x₀ и потому x₀ + y₀ x + y. Итак, величина основного решения минимальна.

Теорема (о структуре решений уравнения Ферма-Пелля). Любое решение уравнения Ферма-Пелля является с точностью до знака степенью (положительной или отрицательной) основного решения.

Доказательство. Во-первых, как уже отмечалось выше, множество решений замкнуто относительно умножения и деления. Поэтому, если  = x₀ + y₀–основное решение, то все его степени тоже  ⁿ (n  Z) будут тоже решениями.

Рассмотрим теперь степени  ,  ² , … ,  ⁿ , … основного решения. Ясно, что  > 1 и поэтому  ⁿ   при n   . Если  = x + y–положительное решение (x, y > 0), не равное никакой степени  ⁿ (n  N), то найдётся однозначно определённое n  N со свойством  ^k <  <  ^k+1. Тогда получаем решение  = , причём1 <  = <  , что невозможно.

Итак, каждое положительное решение является степенью основного. Пусть теперь  = x + y–произвольное нетривиальное неположительное решение. Рассмотрим три возможных случая:

1. x > 0, y < 0. Тогда =x – y–положительное решение, так что = ⁿ и  = .

2. x < 0, y < 0. Тогда – = (–x) + (–y)–положительное решение, и поэтому – =  ⁿ ,  = – ⁿ .

3. x < 0, y > 0. Тогда – удовлетворяет случаю 1, так что – =  ^–n и  = – ^–n.

Теорема доказана.