Свойства делимости нацело
10. Любое ненулевое целое число делится на единицу и на само себя (т.е. a Z \ {0} 1 | a a | а).
Действительно, a Z a = 1a, a = a1.
20. Отношение делимости нацело рефлексивно и транзитивно на множестве ненулевых целых чисел (т.е. a Z \ {0} а | a и а, b, c Z a | b b | c a | c).
В самом деле, рефлексивность доказана в 10, а транзитивность выводится просто: если b = an, c = bm для некоторых целых m, n, то c = a(nm), где nm – целое число, что и требовалось.
30. Отношение делимости нацело антисимметрично на множестве натуральных чисел (т.е. a, b N a | b b | a a = b).
Действительно, если b = an, a = bm для некоторых целых m, n, то, во-первых, m, n N, а во-вторых, b = (bm)n = b(mn), т.е. mn = 1, и значит, m = n = 1, что и требовалось.
50. Отношение делимости нацело не антисимметрично на множестве целых чисел, но a, b Z a | b b | a (a = b) (a = –b).
Действительно, свойство антисимметричности нарушается, т.к. 1 | (–1) и (–1) | 1, но 1 –1. Тем не менее, аналогично предыдущему, если b = an, a = bm для некоторых целых m, n, то b = b(mn), т.е. mn = 1, и либо m = n = 1, либо m = n = –1, что и требовалось доказать.
60. Если a | b , то для любого ненулевого целого c верно a | bc, ac | bc, ac | |bc|, |ac| | bc.
Действительно, если b = an для некоторого целого n, то bc = a(nc), bc = (ac)n, |bc| = ±(ac)n (в зависимости от знака bc), и bc = ±(ac)n (в зависимости от знака ac), что и требовалось.
В частности, получаем
70. Если a | b, то (±a) | (±b) при любой независимой друг от друга расстановке знаков у чисел a и b.
80. Если a | b1 , … , a | bk , то a | (b1 + … + bk).
В самом деле, если bi = aci для некоторых целых чисел ci (1 ik), то b1+ … +bk = a(c1 + … + ck) и c1 + … + ck – целое, что и требовалось.
90. Если a | b1 , … , a | bk , то для любых целых c1 , … , ck верно a | (b1c1+ …+bkck ) .
Это следствие 60 и 80.
100. Если a 0, b | a, то |b| |a|. В частности у каждого ненулевого целого числа лишь конечное число делителей.
В самом деле, если a = bq (q Z), то |a| = |b||q|, и все числа в этом равенстве натуральные, так что |b| |a|. Таким образом,
b {–|a|, –|a| + 1, … , –1, 1, … , |a| – 1, |a|}
и поэтому у b может быть лишь конечное число значений.
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Министерство образования и науки Российской Федерации
- Глава I. Азы теории чисел
- § 1. Деление целых чисел с остатком
- 5709 Mmmmmdссiiiiiiiii,
- Перевод числа из десятичной системы счисления в q-ичную
- Перевод числа из q-чной системы счисления в десятичную (схема Горнера)
- Перевод числа из одной системы счисления в другую
- Арифметические действия в позиционных системах счисления
- § 2. Деление целых чисел нацело
- Свойства делимости нацело
- § 3. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
- Основные свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного
- § 4. Алгоритм Евклида
- Расширенный алгоритм Евклида
- § 5. Взаимно простые числа
- Простейшие свойства взаимно простых чисел
- § 6. Простые числа
- Простейшие свойства простых чисел
- § 7. Простые числа в арифметических прогрессиях
- О распределении простых чисел
- § 8. Язык сравнений
- Свойства сравнений
- § 9. Функция Эйлера
- § 10. Теоремы Эйлера и Ферма
- § 11. Признаки делимости
- § 12. Принцип Дирихле
- Глава II. Некоторые диофантовы уравнения
- § 1. Линейные диофантовы уравнения
- § 2. Общее диофантово уравнение от одного переменного
- § 5. Пифагоровы тройки
- § 6. Уравнение Ферма-Пелля
- Глава III. Великая теорема ферма и abc – проблема
- § 1. Великая теорема Ферма
- § 2. Методы Эйлера-Куммера доказательства Великой теоремы Ферма
- § 3. Гипотеза Таниямы и доказательство Великой теоремы Ферма
- § 4. Abc – Теорема для многочленов и её следствия
- § 5. Abc – Гипотеза для натуральных чисел
- § 6. Некоторые следствия из abc– гипотезы
- Глава IV. Задача о счастливых билетах
- § 1. Сведение задачи к задаче о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- § 2. Задача о числе наборов цифр с заданной суммой компонент
- § 3. Ещё одно решение задачи о числе наборов цифр с заданной суммой компонент