6. Примеры на применение нормального закона

Пример 1. Завод изготовляет шарики для подшипников. Каждый шарик должен иметь один и тот же диаметр . Однако в силу ряда причин, неизбежных в условиях массового производства, фактический диаметр несколько отличается от величины . Обозначим черезразность между фактическим диаметром и числом.

По соображениям, изложенным в п. 1⁰ предыдущего параграфа, можно принять, что величина подчиняется нормальному закону распределения с математическим ожиданиеми некоторым средним квадратичным отклонением (характеризующим среднюю точность изготовления шариков).

Каждый шарик, сойдя с конвейера, проходит контроль. Последний состоит в том, что шарик пропускается через отверстия диаметром и(рис.46 из Солодовникова). Все шарики, которые свободно проходят через большое отверстие, но застревают в меньшем, поступают в готовую продукцию; остальные шарики бракуются. Найти вероятность того, что случайно выбранный с конвейера шарик будет забракован.

Нужно корректировать рисунок 46, из кн. Солодовникова.

Решение. Условием успешного прохождения шарика через контроль являетя выполнение неравенств

.

Имеем (см. формулу (26)):

.

Поэтому вероятность того, что шарик окажется бракованным, равна .

Пример 2. Для определения точности измерительного прибора произведено сравнение его показаний с показаниями контрольного (высокоточного) прибора. Это сравнение показало, что 75 % всех ошибок данного прибора не превосходят по абсолютной величине 2 мк. Считая, что ошибка измерения подчиняется нормальному закону с математическим ожиданием 0, найти среднее квадратичное отклонение .

Решение. Обозначим ошибку при измерении на данном приборе через . По условию есть случайная величина, подчиненная нормальному закону распределения с плотностью

.

В произведенной серии измерений событие имело частоту 0,75. Считая, что число проделанных измерений достаточно велико, и заменяя частоту вероятностью, запишем:

.

Отсюда или . Решая уравнениезатем, по таблице значений функции находим. Откуда

4