§ 2. Методы Эйлера-Куммера доказательства Великой теоремы Ферма

Уже доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 3 не элементарно. Впервые полученное Эйлером, оно в течение многих лет оставалось идейным источником для дальнейших обобщений и модификаций.

Идея проста: если x³ + y³ = z³ для целых x, y, z, не равных нулю, то

z³ = (x + y)(x² – xy + y²) = (x + y)(x – y)(x + ²y),

где  = , ² = =  – 1 , а ³ = –1. Таким образом, z³ разложено в произведение трёх множителей из множества чисел K = {z = p + q  C | p, q  Z }. Легко проверить, что это множество замкнуто относительно сложения, вычитания и умножения:

(p + q) ± (r + s) = (p ± r) + (q ± s)  K ,

(p + q)(r + s) = pr + (qr + ps) + ²qs =

= pr + (qr + ps) + ( – 1)qs = (pr – qs) + (qr + ps + qs) K .

Такие подмножества в C называют числовыми кольцами. В них можно производить вычисления почти как с целыми числами.

Как известно, любое целое число единственным образом раскладывается в произведение простых: z = , где   {–1, +1}, p_i – простые числа, _i  N (1  i  k). Отсюда следует, что если произведение нескольких попарно взаимно простых целых чисел является m-й степенью некоторого целого числа, то каждый из сомножителей (с точностью до знака) является m-й степенью целого числа. Действительно, если t^m = u₁…u_k , то имеет место разложение в натуральных числах: |t|^m = |u₁|…|u_k|, где сомножители попарно взаимно просты: НОД(|u_i|, |u_j|) = 1. Это значит, что в канонических разложениях чисел |u₁|, … , |u_k| нет одинаковых простых чисел, а показатель степени каждого простого числа делится на m, т.к. этот показатель является показателем степени этого же простого числа в |t|^m. Итак, |u_i| = v_i^m (1  i  k) и |t| = v₁ … v_k для некоторых натуральных чисел v₁ , … , v_k .

Если предположить, что аналогичный факт имеет место для числового кольца K, то Великая теорема Ферма доказывается просто. Из разложения z³ = (x + y)(x + y)(x – ²y) и попарной взаимной простоты целых чисел x, y, z следует, что взаимно просты и множители в этом разложении. Действительно, если, например x + y, x – ²y делятся на некоторое простое в K число π = p + q, то

x + x = (1 + )x = (x + y) + (x – ²y)  π ,

–y + 2y = (2 – 1)y = (1 + )y = (x + y) – (x – ²y)  π ,

что невозможно: если x + x = (p +q)(k + l), y = (p +q)(m + n).