49.Степенные ряды. Теорема Абеля

Степ рядом наз ряд вида =a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+….(1)

Где a₀,a_1,a_2,a_n….действ числа. Они наз коэф ряда a_n(x)=a_nxⁿ – общий член ряда.

Теорема Абеля:

Если (1) сход при х=х₀ (х₀ не =0) то он обсол сход при всех х удовл нер-ву . Если (1) расх при x=x₁ то он расх при всех удовл нер-ву

Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов.

Опр интерв (-R;R) внутр котор степен ряд сход, а вне его расх, назыв интерв сход ряда.

R- радиус сход ряда. Вывед ф-лу для рад сход.

Пусть дан степенной ряд ; a_n не = 0 n =1,2,3…

Прим призн Д’Ламбера к ряду сост из обсол величин:

тогда ряд сход (если lim < 1 ). Предпол, что не=0 тогда можно утвержд, что ряд сход при всех худовл нер-ву сх

для всех расх => радиус сходится

аналог если восп признаком коши получим

при х= R вопр о сход для кажд ряда расматр индивид