3. Ещё раз о теореме Бернулли

В этом пункте ещё раз будем рассматривать ЗБЧ Бернулли. Теорема Бернулли исторически является первой и наиболее простой формой закона больших чисел. Она обосновывает теоретически возможность приближенного вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты, т.е. обосновывает свойство устойчивости относительной частоты (которая приводит к статистическому определению вероятностей).

В Т.6 пункте 7, мы рассматривали ЗБЧ Бернулли в качестве применения интегральной теоремы Муавра – Лапласа. Здесь её выводим на основании теоремы Чебышева.

Напомним, что проводится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления событияравна,а относительная частота в каждой серии испытания равна

Рассмотрим задачу:в условиях испытания по схеме Бернулли и при достаточно большом числе независимых испытаний найти вероятность отклонение относительной частоты от истинной вероятностипоявления событияпо абсолютной величине не превышает заданного числаДругими словами, найти вероятность:

Здесь, для решения этой задачи будем применять неравенство Чебышева.

Рассматривается независимые д.с.в.каждый из них обладают свойством:если вм номере испытании появилось событиеа если вм испытании не появляется событие, тогда,т.е.является индикатором испытания на предмет появление или не появление события.

Тогда (число успехов) событияпредставиться в виде

Составим закон распределения каждой независимой случайной величины и затем найдём математическое ожидание и дисперсию наступления событиеА.

Контроль

Вычислим математическое ожидание и дисперсию с. в. при любом

Неравенство Чебышева (12) для случайных величин , число успехов которых

принимает вид:

(21) ,

где также отметим, что

Случайные величины независимы, их дисперсия ограничены одним и тем же числом 0,25, так как

Поэтому к этим с.в. можно применить теорему Чебышева 10.4. Также будем воспользоваться легко выводимыми равенствами

Следовательно, справедливо ЗБЧ в форме Бернулли

(22) .

Итак, ЗБЧ Бернулли утверждает, что при «относительная частота» сходится по вероятности к истинной вероятности события, т.е. числуКоротко теорему (ЗБЧ) Бернулли записывают в виде:

Теорема 10.6. Справедлива следующая эквивалентность

Как видим, теорема Бернулли объясняет, причину того что, почему относительная частота при достаточно большом количестве испытаний обладает свойством устойчивости и тем самым оправдывает статистическое определение вероятности.

Пример 4. Вероятность наличия опечатки на одной странице рукописи равна 0,2. Найти вероятность того, что в рукописи, содержащей 400 страниц, частость появления опечатки отличается от соответствующей вероятности по модулю меньше, чем 0,05.

Решение.Воспользуемся равенством (21). В нашем примере

Имеем

т.е.