§ 5. Пифагоровы тройки

Рассмотрим уравнение x² + y² = z² , представляющее собой соотношение Пифагора для прямоугольного треугольника. Вначале найдём все его рациональные решения, а затем – все целые решения диофантова уравнения.

1. Рациональные решения. Во-первых, уравнение переписывается в виде , где отношения , рациональны, если рациональными были x, y. Эти отношения являются рациональными координатами точек на единичной окружности. Точки с рациональными координатами на окружности назовём рациональными. Если все рациональные точки M(u; v) окружности каким-то образом описаны, то u² + v² = 1 и = u, = v, т.е. x = zu, y = zv , где z  Q . Таким образом, задача свелась к описанию всех рациональных точек окружности.

Изложим общий метод нахождения всех рациональных точек окружности, применимый и для многих других кривых, заданных полиномиальными уравнениями.

Выберем на кривой рациональную точку, например точку S(0; –1) на окружности. Если M(u; v) – произвольная рациональная точка, то рациональным будет и . Обратно, если t  Q , то u = t(v + 1) и u² + v² = 1, т.е. t²(v + 1)² + v² = 1 или (t² + 1)v² +2t²v + t² – 1 = 0. Здесь дискриминант D = 4t⁴ – 4(t⁴ – 1) = 4 и . Если взять знак минус, то получим v = –1, u = t(v + 1) = 0, т.е. точку S(0; –1). Если же брать плюс, то  Q .

Таким образом, доказано, что точка на окружности рациональна тогда и только тогда, когда она либо совпадает с S(0; –1), либо получается по формулам при некоторомt  Q .

Легко понять, что точка S(0; –1) не может быть получена по приведённым формулам ни при каком рациональном t. Можно видоизменить параметризацию, чтобы включить точку S в общие решения. Для этого запишем рациональное число t в несократимом виде , гдеm  Z, n  N и НОД(m, n) = 1. Тогда формулы перепишутся так: . Эти формулы определены при любыхm, n  Z и при n = 0 получаем точку S(0; –1). Таким образом, доказана следующая

Теорема (о рациональных точках на окружности). (1) Все рациональные точки M(x; y) единичной окружности имеют координаты

, ,

при некоторых m, n  Z , НОД(m, n) = 1.

(2) Все рациональные пифагоровы тройки, т.е. рациональные решения уравнения x² + y² = z² задаются формулами , , где m, n  Z и НОД(m, n) = 1, z  Q.

2. Целые решения. Рассмотрим диофантово уравнение x² + y² = z² от трёх неизвестных x, y, z. Оно, конечно, имеет решения: например, (0; 0; 0), (0; 1; 1), (3; 4; 5) и множество других. Решения, в которых одно из чисел равно нулю, называются тривиальными. Ясно, что все тривиальные решения имеют вид: (0; y; ±y), (x; 0; ±x). Достаточно искать только нетривиальные решения.

Кроме того, назовём решение (x; y; z) примитивным, если любые два числа в нём взаимно просты, т.е. если НОД(x, y) = НОД(x, z) = НОД(y, z) = 1. Ясно, что если есть некоторое решение (x; y; z) и D = НОД(x, y, z), то x = Dx₁ , y = Dy₁ , z = Dz₁ при некоторых целых x₁ , y₁ , z₁ , причём ввиду x² + y² = z² получаем, сокращая на D², x₁² + y₁² = z₁², т.е. тройка (x₁ ; y₁ ; z₁) тоже является решением. Кроме того, это решение примитивно. Действительно, если НОД(x, y) = d > 1, то x₁ = dx₂ , y₁ = dy₂ и d²(x₂² + y₂²) = z₁² и число z₁ делится на любой простой делитель p числа d, вопреки взаимной простоте чисел x₁ , y₁ , z₁ . Аналогично рассматриваются и другие возможности НОД(x, z) > 1, НОД(y, z) > 1.

Итак, доказано, что любое решение получается из примитивного умножением всех его компонент на некоторое натуральное число D. Поэтому достаточно искать лишь примитивные пифагоровы тройки. Поскольку каждая такая тройка состоит из рациональных чисел, то можно применить описание рациональных пифагоровых троек.

Прежде всего, заметим, что из x² + y² = z² следует, что одно из чисел x, y чётно, а другое нечётно. Действительно ввиду примитивности тройки x, y не могут быть чётными одновременно. Если x, y оба нечётны, то x² + y² чётно, т.е. z чётно и x² + y² делится на 4, что ведёт к противоречию: если x = 2u + 1, y = 2v + 1 (u, v  Z), то x² + y² = 4(u² + u + v² + v) + 2 и не делится на 4.

Поменяв, если нужно, x, y местами, будем считать, что x чётно, а y нечётно. Согласно предыдущей теореме, каждая примитивная тройка (x; y; z) имеет вид при целыхz, m, n, НОД(m, n) = 1. Значит, x(m² + n²) = z2mn, причём числа x и z взаимно простые. По основному свойству взаимно простых чисел m² + n² = zt (t  Z) и xt = 2mn, y = , т.е. m² – n² = yt . Отсюда 2m² = (z + y)t, 2n² = (z – y)t, т.е. t – общий делитель чисел 2m² и 2n². Поэтому t делит НОД(2m², 2n²) = = 2НОД(m², n²) = 2.

Если t = ±2, то m² + n² = ±2z  2, т.е. взаимно простые числа m, n оба нечётны, и кроме того, ±2x = 2mn, т.е. x = ±mn – нечётно, вопреки выбору x.

Значит, t = ±1, x = ±2mn, y = ±(m² – n²), z = ±(m² + n²), где целые числа m, n взаимно простые разной чётности (иначе y чётно), а комбинации знаков – любые. Учитывая возможность поменять местами x, y, получаем ещё возможность x = ±(m² – n²), y = ±2mn, z = ±(m² + n²). Любая целочисленная тройка получается одновременным умножением компонент описанных выше примитивных троек на произвольное целое число.

Таким образом, доказана

Теорема (о пифагоровых тройках). Любая пифагорова тройка имеет один из следующих видов:

,

где D, m, n – целые числа, m и n взаимно простые разной чётности.