4.3. Оптимизация непараметрических моделей линейных динамических систем

Вернемся к задаче построения непараметрических моделей ЛДС. При нулевых начальных условиях вид модели будет следующим:

. (4.21)

Непараметрическое моделирование линейных динамических систем включает в себя задачу оптимизации модели по параметру размытости. Существуют два очевидных подхода к выбору критериев оптимизации. Первый подход – сведение задачи построения модели к уже решенной проблеме оценивания весовой функции как производной исходной зависимости, заданной при помощи выборки, т. е. реакции объекта на единичное воздействие. Второй подход заключается в построении критерия, представляющего собой средний квадрат ошибки реализаций переходной функции, полученной экспериментально на объекте, и ее непараметрической модели:

. (4.22)

Исследование критериальной функции (4.22) приводит к выводу о том, что при относительно малых значениях параметра С_s наблюдаются колебания значения критерия J (рис. 4.4, 4.5). В процессе оптимизации крайне нежелательно попасть в область колебаний. При больших С_s критериальная функция, наоборот, является более гладкой. Поэтому необходимо использовать такие методы оптимизации, которые проводят спуск к точке минимума из начальной точки, заведомо лежащей в области больших значений параметра оптимизации. Подобная стратегия осуществляется с использованием метода квадратичной интерполяции.

Классический метод квадратичной интерполяции основан на процедуре аппроксимации объектной функции, квадратичной на каждом шаге. Пусть имеются значения объектной функции в трех произвольных точках:

.

Рис. 4.4. График критериальной функции (4.22) для выборки S = 100

Рис. 4.5. График критериальной функции (4.22) для выборки S = 200

Аппроксимация состоит в расчете коэффициентов A, B и C квадратичной функции по этим точкам. Значения этих коэффициентов являются решением системы линейных уравнений

(4.23)

Найденные значения коэффициентов можно подставить в уравнение квадратной функции а затем найти точку ее экстремума. Положение этой точки определяется по формуле

. (4.24)

В полученной точке необходимо вычислить значение объектной функции, сравнить имеющиеся четыре точки по значениям функции в них и отбросить точку с наихудшим значением объектной функции. Такая процедура повторяется до тех пор, пока не будет выполнен критерий остановки:

. (4.25)

Сходимость классического метода квадратичной интерполяции доказана для унимодальных функций. Однако критериальная функция в задаче непараметрического моделирования ЛДС не унимодальна. Более того, эксперименты показали, что минимум этой функции не является глобальным. Однако относительная гладкость критериальной функции в области больших значений С_s позволяет использовать метод квадратичной интерполяции с некоторыми модификациями:

– запуск алгоритма производить из начальной точки в области больших С_s;

– одну из трех точек зафиксировать в области малых С_s и искусственно присвоить ей заведомо большое значение;

– изменить значение в фиксированной точке по следующему правилу:

(4.26)

– перемещать фиксированную точку в сторону увеличения С_s в случае, когда расположение точек позволяет говорить о перекрытии точки минимума.

Метод квадратичной интерполяции обладает следующими достоинствами:

– он обеспечивает переменную длину шага оптимизации в зависимости от наклона кривой критерия (как градиентный метод), но не требует при этом доступности производных или их оценок;

– не требует задания левой границы оптимизации;

– обладает хорошей скоростью сходимости.

Для сравнения был взят метод золотого сечения, сходящийся за постоянное число шагов на фиксированном интервале. Этот метод позволяет за относительно малое число шагов отыскать точку минимума, но требует задания левой границы оптимизации и не учитывает известных особенностей критериальной функции. Метод квадратичной интерполяции имеет лучшее математическое обоснование, но при этом он более сложен в модификации и настройке. Таким образом, оба метода имеют свои преимущества и недостатки, и наиболее рациональным подходом является их совместное включение в состав программного модуля.

Важным представляется изучение взаимного расположения точек минимума критерия (4.22) при различных объемах выборки (рис. 4.6).

Рис. 4.6. Взаимное расположение точек минимума критериальной функции (4.22)

Точками на плоскости изображены значения параметра размытости и критериальной функции при различных величинах объема выборки без помех и со случайными помехами 5 %, наложенными на выход объекта. С ростом объема выборки средний квадрат ошибки приближения модели к выходу реального объекта уменьшается, оптимальное значение параметра С_s также становится меньше, а увеличение уровня помех приводит к ухудшению модели.