3.1. Способы описания линейных динамических систем

Математическую модель с использованием линейного оператора можно записать в виде

.

Линейными называются системы, подчиняющиеся принципу суперпозиции. Этот принцип основан на том, что линейной комбинации произвольных входных сигналов ставится в соответствие та же линейная комбинация сигналов на выходе системы:

.

Другими словами, оператор A и задаваемая им модель системы называются линейными, если они подчиняются принципу суперпозиции и обладают следующими свойствами:

– аддитивностью:

;

– однородностью:

.

Известно, что производная любого порядка и интеграл любой кратности, примененные к какой-либо функции, являются линейными операторами по отношению к этой функции; линейные комбинации линейных операторов также представляют собой линейные операторы, из которых образуются линейные дифференциальные и интегральные уравнения.

Система называется динамической (инерционной), если значения ее выходного сигнала зависят не только от значений входного сигнала, но и от предшествующих состояний системы. В записи модели динамической системы присутствуют производные, связывающие прошлые состояния системы с настоящими. Чем большей памятью обладает система, тем больше предыдущих состояний влияют на настоящие и тем бóльшая степень старшей производной используется в записи модели.

Линейная динамическая система описывается дифференциальным уравнением

. (3.1)

В частности, система второго порядка имеет вид

Решение линейного дифференциального уравнения состоит из двух частей – свободной и вынужденной:

где определяется решением однородного дифференциального уравнения и характеризует процессы, происходящие внутри системы, а зависит от вида входного сигнала.

Рассмотрим ЛДС при нулевых начальных условиях:

Преобразование Лапласа производной зададим выражением

где – изображение оригинала по Лапласу. Поскольку преобразование Лапласа является линейным преобразованием, то

Отношение изображения выходного сигнала ЛДС к изображению входного сигнала при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией ЛДС:

(3.2)

.

При ненулевых начальных условиях

где – изображение начальных условий.

Обратное преобразование Лапласа

позволяет определить выходную реакцию ЛДС на входное воздейст- вие при нулевых начальных условиях как

(3.3)

Эта формула имеет фундаментальное значение в теории линейных систем и называется интегралом Дюамеля, или сверткой функций и . Таким образом, выходной процесс является взвешенной суммой всех значений входного процесса. Весовая, или импульсная переходная функция (ИПФ) , представляет собой обратное преобразование Лапласа от передаточной функции системы

Чтобы выяснить физический смысл весовой функции , возьмем в качестве входного воздействия δ-функцию . Изображение δ-функции по Лапласу имеет вид . Тогда

откуда следует, что

т. е. является реакцией ЛДС на входное воздействие в виде δ-функции (очень короткого импульса).

Допустим, что входным сигналом является кратковременный импульс (рис. 3.1).

Т

Рис. 3.1. Кратковременный импульс

.

При малой длительности импульса , применив теорему о среднем, найдем

где ; – площадь импульса. Таким образом, при кратковременном импульсе имеет значение площадь импульса, а не его форма.

Допустим, что длительность импульса неограниченно уменьшается, а площадь остается постоянной. Тогда при .

Если , то входной сигнал представляет собой единичный импульс, или функцию Дирака . Следовательно, импульсная переходная функция определяет выходной сигнал системы при входном сигнале в виде единичного импульса.

Интегралу Дюамеля, записанному в форме (3.3), можно дать наглядное графическое представление. Функцию покажем в виде последовательности бесконечно узких импульсов (рис. 3.2), имеющих высоту и ширину , так что площадь каждого импульса равна . Этот импульс, действующий на систему в момент времени , обусловит выходной сигнал в момент времени , равный . Тогда последовательность всех импульсов на промежутке времени вызовет выходной сигнал, определяемый формулой (3.2).

Рис. 3.2. Представление сигнала в виде последовательности импульсов

Импульсная переходная функция характеризует значимость (весомость) входного импульса, возникшего в момент времени , среди других импульсов, участвующих в формировании выходного сигнала в момент времени , чем и объясняется ее второе название – функция веса.

Импульсная переходная функция часто применяется при анализе переходных процессов, вызываемых воздействием на систему нерегулярных сигналов.

Если в качестве входного воздействия задать единичную функцию Хевисайда , то , следовательно

Функция называется переходной характеристикой системы.

Таким образом, описание ЛДС может задаваться в следующих формах:

– дифференциального уравнения;

– передаточной функции (оператора системы);

– импульсной характеристики;

– переходной характеристики.

Существуют различные формы записи интеграла Дюамеля:

, (3.4)

, (3.5)

, (3.6)

. (3.7)

Зная переходную функцию системы , ИПФ , а также воздействие на входе системы , , где Т – длительность переходного процесса, т. е. время до момента, когда выход объекта принимает установившееся значение, можно произвести последовательный расчет выходного сигнала для любого входного сигнала. Таким образом, импульсная реакция полностью определяет поведение системы.

Импульсная переходная функция системы обладает важным свойством: она равна первой производной от переходной функции системы . Обладая информацией о переходной функции, мы можем вычислить точно либо оценить импульсную переходную функцию .

Представление модели в качестве интеграла Дюамеля полностью определяется таким важным свойством линейных динамических систем, как принцип суперпозиции. Произвольный входной сигнал можно представить в виде суммы ступенчатых воздействий, следующих друг за другом через равные интервалы времени и отличающихся только высотой и знаком ступени (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Представление произвольного сигнала

в виде серии ступенчатых воздействий

Реакция линейной системы на каждое из таких возмущений определяется умножением кривой разгона, вызванной единичным воздействием, на высоту ступени:

,

Пользуясь принципом суперпозиции, получим

.

Это приближенное выражение в пределе становится точным:

Итак, мы получили известную форму интеграла Дюамеля (3.7) при нулевых начальных условиях.

Приведем основные свойства линейных динамических систем.

Физическая реализуемость ЛДС. В физически реализуемых системах сигнал на выходе системы не может появиться раньше входного сигнала, поскольку при . С математической точки зрения это означает, что в операторе передачи должно выполняться условие , т. е. степень полинома числителя должна быть меньше либо равна степени полинома знаменателя.

Для физической реализуемости ЛДС в интеграле Дюамеля верхний предел может быть заменен на текущее значение времени:

т. е. система, выполняя обработку поступающего на вход сигнала, будет формировать выходной сигнал путем взвешенного суммирования всех мгновенных значений , существовавших в прошлом при . Роль весовой функции при этом выполняет импульсная характеристика.

Принципиально важно, что физически может быть реализована только такая система, которая не требует операций с будущими значениями сигналов.

Устойчивость ЛДС. Устойчивостью называется свойство системы возвращаться в исходное состояние по окончании воздействия или при сравнительно малых отклоняющих воздействиях. Условие устойчивости может быть представлено в виде

Поскольку реакция физически реализуемой ЛДС должна быть ограниченной, то ее импульсная характеристика должна удовлетворять условию абсолютной интегрируемости:

Устойчивость системы определяется на основании анализа ее передаточной характеристики , которая, как любой полином, может быть разложена на множители:

Точки , в которых числитель обращается в нуль, называются нулями передаточной характеристики, а корни полинома знаменателя (в точках ) – полюсами передаточной характеристики системы.

Поскольку – комплексное число, то нули и полюсы передаточной функции изображают на комплексной плоскости точками и .

Система будет устойчивой, если ее полюса лежат в левой полуплоскости, т. е. . Система, у которой полюса имеются в правой полуплоскости, т. е. , будет неустойчивой.

Если передаточная функция системы не содержит нулей и полюсов в правой части комплексной плоскости, то такая система называется минимально-фазовой, в противном случае она считается не минимально-фазовой. Если действительная часть полюсов равна нулю, т. е. они лежат на оси , то система находится на границе устойчивости, т. е. небольшие случайные изменения параметров системы могут перевести ее в неустойчивый режим, представляющий экспоненциально нарастающие по амплитуде колебания.