3.2. Модель динамической системы в виде представления Фурье (модель сигнала)

Известно, что в любом сигнале присутствуют гармонические составляющие. В зависимости от частоты эти составляющие называются гармониками (первой, второй, третьей и т. д.). Сумма гармоник с соответствующими весами составляет модель сигнала.

Пусть, например, в некотором сигнале присутствует сумма трех гармоник:

(первая гармоника с амплитудой 3, третья гармоника с амплитудой 2, пятая гармоника с амплитудой 0,5) (рис. 3.4).

Рис. 3.4. Пример гармонического сигнала

Спектр этого сигнала показывает, что наибольший вес (амплитуду) в сигнале имеет первая гармоника (она представлена более других), а наименьший вес – пятая гармоника (рис. 3.5).

Любой сигнал, сколь сложен бы он ни был, может быть задан суммой гармоник. Более простой сигнал представляется меньшим числом гармоник, более сложный – бóльшим. Быстро меняющийся сигнал, содержащий резкие пики, имеет в своем составе гармоники высоких порядков. Чем больше гармоник представлено в модели сигнала, тем точнее в общем случае модель отражает реальный сигнал.

ω₁ ω₃ ω₅ ω

Рис. 3.5. Пример спектра гармонического сигнала

Приведем в качестве примера один из возможных видов сигнала (рис. 3.6).

Х

Рис. 3.6. Пример временного сигнала на входе

преобразования Фурье

Зададим время рассмотрения сигнала: если сигнал периодический, то время рассмотрения равно периоду p сигнала; если сигнал непериодический, то периодом сигнала считается все время его рассмотрения.

Обозначим через и веса соответствующих гармоник, присутствующих в сигнале ( – номер гармоники). Формулы их расчета называются прямым преобразованием Фурье:

,

, ,

, ,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

, .

Значение – это частота i-й гармоники. Частота i-й гармоники связана с частотой первой гармоники соотношением .

Такой способ представления сигнала позволяет вместо его детального описания использовать вектор чисел, представляющих весовые коэффициенты составляющих его гармоник: . Эти числа полностью характеризуют исходный сигнал, так как его можно полностью восстановить с использованием формулы обратного преобразования Фурье:

Эти числа также используются при обработке сигнала в модели динамической системы. Изображение этих чисел на графике в зависимости от номера гармоники (частоты) называется спектром сигнала (рис. 3.7). Спектр показывает присутствие в сигнале частотной составляющей, а значит является его частотной характеристикой.

По формулам прямого преобразования Фурье всегда можно перейти из временнóй области в частотную, а по формулам обратного преобразования Фурье – из частотной области во временнýю. Решение о том, в какой области (частотной или временнóй) следует работать с сигналом в каждый конкретный момент, принимается исходя из соображений удобства, наглядности и экономии вычислений. Операции интегрирования и дифференцирования сигнала во временной области заменяются в частотной области на операции алгебраического сложения и умножения, что значительно упрощает вычисления.

Система чисел и является полной характеристикой сигнала. Такой же полной характеристикой сигнала является и система чисел S и φ, которые также образуют спектр (рис. 3.8): S – это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), φ – фазовая частотная характеристика (ФЧХ).

Рис. 3.7. Пример спектра сигнала, представленного в частотной области на выходе

преобразования Фурье

Рис. 3.8. Пример амплитудно-частотной и фазовой частотной

характеристик сигнала, представленного в частотной области

Системы A–B и S–φ являются полностью равнозначными. Переход из системы A–B в систему S–φ производится по следующим формулам:

.

Для системы S–φ обратное преобразование Фурье имеет вид

,

где коэффициенты А и В – амплитуды синусов и косинусов соответствующих частот (гармоник). Во временнóй области они графически соответствуют размаху гармонических колебаний (рис. 3.9 и 3.10), в частотной – высоте спектральной полоски на соответствующей частоте (см. рис. 3.7). Графическое представление коэффициентов S и φ также соответствует размаху гармонических колебаний (рис. 3.11).

…

Рис. 3.9. Графическое представление гармонических колебаний с параметрами А и ω для косинусной составляющей гармонического сигнала

Рис. 3.10. Графическое представление гармонических колебаний с параметрами В и ω для синусной составляющей гармонического сигнала

Пусть имеется входной динамический сигнал и объект F, преобразующий этот сигнал в выходной (рис. 3.12). Если объект описывается дифференциальными уравнениями, то таким преобразованием является интегрирование входного сигнала и вычисление .

Рис. 3.11. Графическое представление гармонических колебаний

с параметрами S и φ для составляющей гармонического сигнала

Рис. 3.12. Схема моделирования динамического объекта при переходе

из временной области представления в частотную

Если перейти от описания входного сигнала во временнóй области к описанию в частотной области (см. рис. 3.12), а от дифференциальных уравнений – к частотной характеристике объекта, т. е. фактически заменить сигнал на частотную модель сигнала, а объект на частотную модель объекта, то процесс преобразования сигнала с вычислительной точки зрения упростится. Конечно, полученный результат тоже будет частотной моделью выходного сигнала, которую для получения окончательного ответа придется конвертировать во временнýю область . Процесс такой конвертации из частотной области во временную и обратно называется преобразованием Фурье.

Модель объекта в частотном виде называется передаточной функцией, или амплитудно-частотной характеристикой. Объекты, для которых известны АЧХ, обычно называются типовыми звеньями (усилительное, апериодическое, колебательное звено и т. д.).

Коэффициент в амплитудно-частотной характеристике показывает усиление гармонического сигнала на частоте (рис. 3.13)

Рис. 3.13. Пример амплитудно-частотной характеристики

Моделирование прохождения сигнала через объект в данном случае заключается в умножении коэффициента гармоники с частотой входного сигнала на коэффициент усиления при той же гармонике с часто- той в АЧХ:

(для коэффициента В преобразование аналогично). В результате получается коэффициент выходной гармоники данной частоты . Процедура выполняется для всех частот, представленных во входном сигнале и АЧХ. После получения спектра выходного сигнала можно восстановить сигнал как временнýю зависимость с помощью формулы обратного преобразования Фурье.

Следует обратить внимание на то, что моделирование прохождения сигнала через динамический объект сводится к операции умножения двух переменных, точнее – к операции поэлементного умножения вектора одних переменных на вектор других переменных (рис. 3.14). Таким образом, в частотной области достаточно перемножить значения коэффициентов ряда Фурье сигнала и звена при одинаковых частотах.

Рис. 3.14. Схема процедуры преобразования сигнала

при использовании представления Фурье

Итак, отличительной особенностью модели сигнала является замена дифференциальных уравнений модели на алгебраические. Однако данная модель может быть использована только для объектов, вид передаточной функции которых известен.