45. Признак сравнения

Пусть даны 2 ряда с неотр членами

a₁+a₂+…..+a_n+….(1) a_n>=0

b₁+b₂+…+b_n+…(2) b_n>=0

и для всех n или начин с некотор номера n выполн неравенство a_n<=b_n(3) , тогда 1) из сход ряда (2) следует сход ряда (1)

2) из расход ряда 1, следует расход ряда (2)

док-во:1) обозн через S_n и _n – частичные суммы ряда (1) и (2). Т.к. ряд (2) сход то его част суммы _n ограниченны из нер-ва (3)=> что S_n =< _n => {S_n} тоже огранич. Т.к. члены ряда (1) не отриц, то последов частичн сумм S_n не убыв. Итак мы получ что послед S_n не убыв и огранич => она сход, а знач сходится и (1)

2) пусть (1) расход. Док-ем что (2) тоже расх. Предпол, что (2) – сход, а т.к. a_n=<b_n, то из первой части теоремы => (1) – сход, что противор усл теоремы => (2) расход

Призн сравн в пред форме.

Пусть члены ряда (1) , (2) полож и сущ => =L (0<L< )

Тогда эти ряды одновр сход или расход

Признак Д’Аламбера: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел (1). Тогада: при l<1 ряд сходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.

расходится.

Признак Коши: Пусть дан ряд с положительными членами и существует предел . Тогда при l<1 ряд расходится; при l>1 ряд расходится; при l=1 вопрос остается открытым.

Интегральный прзнак Коши-Маклорена: Пусть дан ряд , члены к-рого положит-ны и не возрастают: a₁≥a₂≥ …≥a_n≥…Тогда для сходимости ряда необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл .