6.4.2 Матрица Гурвица
Критерий устойчивости, предложенный Гурвицем, основан на представлении совокупности коэффициентов характеристического уравнения в виде матрицы
Р азмер матрицы (число столбцов и строк) соответствует порядку системы. Строки матрицы заполняются поочередно коэффициентами характеристического уравнения с нечетными и четными индексами, причем начинай с 3-й строки коэффициенты сдвигаются так, чтобы по диагонали расположились коэффициенты отa1 до an В ячейки, в которые должны были быть занесены несуществующие коэффициенты (с индексом меньше нуля или больше n), вписываются нули. Согласно критерию Гурвица, система является устойчивой, если при a0 > 0 все n определителей, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов, имеют положительные значения. Определители Гурвица составляются следующим образом:
и т.д. Последний определитель включает всю матрицу. Но т.к. в последнем столбце все элементы, кроме нижнего, равны нулю, последний определитель выражается через предпоследний:
Δn = an.Δn-1>0
Таким образом, если остальные определители положительны, последний дает единственное условие аn >0, то есть свободный член уравнения - положительный.
В качестве примера рассмотрим условия устойчивости для систем низших порядков. Для системы первого порядка, при a0 > 0, единственное условие, вытекающее из критерия Гурвица: a1 > 0. Для системы второго порядка к этому добавляется условие положительности свободного члена a2 > 0. Тем самым подтверждается, что для систем 1-го и 2-го порядка единственное необходимое и достаточное условие устойчивости - положительные значения всех коэффициентов характеристического уравнения. Для системы 3-го порядка матрица Гурвица имеет вид:
Э то значит, что к необходимым условиям (положительные значения всех коэффициентов) добавляется критерийΔ2 =(a1а2 - a0а3) > 0. Этот критерий совпадает с соответствующим критерием, выведенным ранее для системы 3 порядка на основе алгоритма Рауса.
- Введение
- 3.3. Преобразование Лапласа и передаточные функции
- 4. Типовые динамические звенья и их соединения
- 4.1. Типовые звенья
- 4.1.2. Апериодическое (инерционное) звено 1 порядка.
- 4.1.3. Реальное дифференцирующее звено
- 4.1.4. Интегрирующее звено.
- 4.1.5 Звено чистого запаздывания
- 4 .1.6. Звено второго порядка
- 4.2. Соединения звеньев
- 4.2.1. Последовательное соединение
- 4.2.2. Параллельное соединение
- 4.2.3. Встречно-параллельное соединение (обратная связь).
- 4.3. Последовательность составления дифференциального уравнения системы управления
- 5.1.1. Основные определения
- 5.1.2. Статические характеристики объекта.
- 5.1.3. Уравнение движения одноемкостного объекта.
- 6.2 Теоремы Ляпунова.
- 6.3. Алгебраические критерии устойчивости. Необходимое условие устойчивости.
- 6.4.1 Критерий (алгоритм) Рауса.
- 6.4.2 Матрица Гурвица
- 6.5. Диаграмма Вышнеградского.
- 6.6. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента.
- 6.7. Критерий Михайлова
- 6.8. Критерий Найквиста
- 7.2. Статическая ошибка системы управления