6.3. Алгебраические критерии устойчивости. Необходимое условие устойчивости.

Определение корней характеристического уравнения, в особенности для систем выше третьего порядка, является трудоемкой задачей. Поэтому для оценки устойчивости обычно используются не сами корни, а те или иные условия и критерии, которые указывают на вид этих корней в рассматриваемой системе. Критерии устойчивости подразделяются на алгебраические, основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения и их соотношений, и частотные, в которых используются частотные характеристики передаточной функции или ее знаменателя.

Простейшим алгебраическим критерием является необходимое (но не достаточное) условие устойчивости, которое формулируется следующим образом:

для того, чтобы система была устойчива, необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были положительными.

Если в числе коэффициентов имеются отрицательные или нулевые, система заведомо неустойчива. Однако положительность коэффициентов не гарантирует

от возможной неустойчивости.

Для доказательства этого условия разложим характеристическое уравнение на множители (см. раздел 4.3):

A(p) = a₀(p - p₁)(p - p₂)…….(p - p_n) = 0 (6.1)

Где p₁, p₂,…… p_n - .корни характеристического уравнения. Для того, чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы все эти корни были вещественными отрицательными или комплексными с отрицательной вещественной частью. В первом случае заменим p₁ = -α₁, p₂ = -α₂,… p_n = -α_n.

При подстановке в (6.1) получаем

a₀(p + α₁)(p + α₂)…….(p + α_n) = 0 (6.2)

Теперь, раскрывая скобки и возвращаясь к исходному уравнению, получаем при a₀ > 0:

а₁ = a₀(α₁ + α₂ +……+ α_n) > 0

а₂ = a₀(α₁α₂ + α₁α₃……+ α_n-1α_n) > 0

………………………………………

α_n = a₀α₁α_2……α_n-1 α_n > 0,

то есть, действительно, все коэффициенты характеристического уравнения положительны. Если в числе корней характеристического уравнения есть комплексные сопряженные корни, то их вещественные части должны быть отрицательными. Рассмотрим пару корней p_1,2 = -α ±ıω. В разложении на множители этой паре соответствует произведение

(p + α + ıω)( p + α - ıω) = (p + α)² + ω²

Поскольку сумма квадратов - величина несомненно положительная, введение в разложение такого сомножителя не может привести к появлению отрицательных коэффициентов. Таким образом, показано, что коэффициенты характеристического уравнения устойчивой системы положительны. Это необходимое условие устойчивости является достаточным для систем 1 и 2 порядков, в чем можно убедиться, определив корни уравнения. Для систем более высоких порядков выполнение данного условия не гарантирует устойчивость системы

6.4. Критерий Рауса-Гурвица

Этот критерий назван именами двух ученых, которые вывели обобщенный критерий устойчивости для линейных систем любого порядка соответственно в 1877 и 1895 годах. Этот критерий имеет две различные формулировки.