logo
управление тех

4.1.2. Апериодическое (инерционное) звено 1 порядка.

Такое звено описывается дифференциальным уравнением

Г

деТ - постоянная времени звена, k - коэффициент усиления. Электрическим аналогом такого звена является цепочка с сопротивлением R и емкостью C (рис. 8 а). Входной параметр - напряжение U1 = x, выходной - U2 = y . Выходное напряжение связано с входным соотношением U1 = U2 + IR; сила тока в цепи конденсатора I = C(dU2/dt). При подстановке получаем RC(dy/dt) + y = x, то есть уравнение инерционного звена при T = RC и k = 1.

Другими примерами являются ёмкость, имеющая каналы подвода и отвода жидкости (инерционный элемент - объем емкости, сопротивление - перепад давлений в подводе и отводе) (рис. 8 б и в), стенка, передающая тепловой поток и обладающая теплоемкостью и тепловым сопротивлением (рис. 8 г) и др.

В преобразованном по Лапласу виде дифференциальное уравнение звена имеет вид:

(Tp + 1)Y(p) = kX(p)

Т

огда передаточная функция

П

ереходную характеристику в данном случае можно получить, решая дифференциальное уравнение звена методом разделения переменных

Т

аким образом, переходная характеристика инерционного звена представляет собой экспоненту, исходящую из начала координат и асимптотически приближающуюся кkx при t → ∞ (рис. 8 д). Из дифференциального уравнения также следует, что

dy/dt = (kx - y)/T

Это значит, что длина горизонтальной проекции отрезка касательной к кривой переходной характеристики, заключенного между точкой касания и точкой его пересечения с линией y = kx, равна T. Это свойство позволяет оценивать параметры звена, если их нельзя получить аналитическим путем, непосредственно по экспериментальной переходной характеристике.

Для получения частотных характеристик определяем частотную передаточную функцию

И

з этого следует, что относительная амплитуда

и фазовый угол υ = -Tω. Соответствующие графики показаны на рис. 8 е. Амплитудо-фазо-частотная характеристика представляет собой полуокружность с диаметром k. Нулевой частоте соответствует точка (k,0), частоте, стремящейся к бесконечности - точка (0,0).

Для анализа асимптотических логарифмических характеристик введем понятие сопрягающей частоты. Это значение частоты, ниже которой можно считать Tω « 1, а выше - Tω » 1. Тогда в первом случае можно пренебречь величиной Tω, а во втором отбросить 1. В данном случае сопрягающая частота ω = 1/Т. При этом слева от сопрягающей частоты относительная амплитуда равна k, а фазовый угол - нулю. При частотах, превышающих сопрягающую частоту и ω→∞, относительная амплитуда а/A = k/Tω, а фазовый угол стремится к -π/2. Асимптотическая логарифмическая характеристика при частотах, меньших сопрягающей, представляет горизонтальную прямую L(ω) = 20 lg k, а выше сопрягающей частоты прямую с наклоном -20 дБ/декаду (рис. 8 ж).

Действительные логарифмические характеристики существенно отличаются от асимптотических только в диапазоне частот, близких к сопрягающей. Следует помнить, что при изменении на декаду частота изменяется в 10 раз, а квадрат частоты (определяющий величину относительной амплитуды) - в 100 раз, поэтому приближение действительных параметров к асимптотам происходит в логарифмических координатах достаточно быстро.

      1. Дифференцирующее звено.

Дифференцирующее звено описывается уравнением

г

де Тд - время дифференцирования.

Электрическим аналогом такого звена является цепочка с конденсатором С, если входным параметром считать напряжение, а выходным - силу тока:

I = C(du/dt)

Тогда время дифференцирования Тд = С. В механических системах дифференцирующее звено может быть использовано, например, для описания связи между угловой скоростью и тангенциальной силой инерции. Переходная характеристика дифференцирующего звена показана на рис.9 а). При мгновенном ступенчатом изменении входного параметра выходная величина также мгновенно возрастает до бесконечности и тут же падает до нуля. Если входная величина изменяется с некоторой постоянной скоростью, выходная имеет постоянное значение.

Рис.9

Преобразование Лапласа отображает дифференциальное уравнение звена в виде формулы: Y(p) = ТдX(p), и передаточная функция W(p) = Тд p.

Частотная передаточная функция W(iω) = iТдω.Действительная часть в этом выражении отсутствует, поэтому относительная амплитудаа/А =Тдω,

а фазовый угол при всех значениях частоты υ = arctg ∞ = π/2. (рис. 9 б). Амплитудо-фазо-частотная характеристика совпадает с осью ординат (рис. 9 в). Логарифмическая амплитудная характеристика имеет наклон 20 дБ/декаду (рис.9 г)