logo
управление тех

6.4.2 Матрица Гурвица

Критерий устойчивости, предложенный Гурвицем, основан на представлении совокупности коэффициентов характеристического уравнения в виде матрицы

Р

азмер матрицы (число столбцов и строк) соответствует порядку системы. Строки матрицы заполняются поочередно коэффициентами характеристического уравнения с нечетными и четными индексами, причем начинай с 3-й строки коэффициенты сдвигаются так, чтобы по диагонали расположились коэффициенты отa1 до an В ячейки, в которые должны были быть занесены несуществующие коэффициенты (с индексом меньше нуля или больше n), вписываются нули. Согласно критерию Гурвица, система является устойчивой, если при a0 > 0 все n определителей, получаемых из квадратной матрицы коэффициентов, имеют положительные значения. Определители Гурвица составляются следующим образом:

и

т.д. Последний определитель включает всю матрицу. Но т.к. в последнем столбце все элементы, кроме нижнего, равны нулю, последний определитель выражается через предпоследний:

Δn = an.Δn-1>0

Таким образом, если остальные определители положительны, последний дает единственное условие аn >0, то есть свободный член уравнения - положительный.

В качестве примера рассмотрим условия устойчивости для систем низших порядков. Для системы первого порядка, при a0 > 0, единственное условие, вытекающее из критерия Гурвица: a1 > 0. Для системы второго порядка к этому добавляется условие положительности свободного члена a2 > 0. Тем самым подтверждается, что для систем 1-го и 2-го порядка единственное необходимое и достаточное условие устойчивости - положительные значения всех коэффициентов характеристического уравнения. Для системы 3-го порядка матрица Гурвица имеет вид:

Э

то значит, что к необходимым условиям (положительные значения всех коэффициентов) добавляется критерийΔ2 =(a1а2 - a0а3) > 0. Этот критерий совпадает с соответствующим критерием, выведенным ранее для системы 3 порядка на основе алгоритма Рауса.