управление тех

6.4.1 Критерий (алгоритм) Рауса.

Этот критерий представляется в виде следующей таблицы

r_i	Стр. i	Столбец j
r_i	Стр. i	1	2		3	…	j
	1	a₀=c₁₁	a₂=c₂₁		a₄=c₃₁		c_j1
	2	a₁=c₁₂	a₃=c₂₂		a₅=c₃₂		c_j2
r₃= a₀/a₁	3	c₁₃=a₂-r₃a₃	c₂₃=a₄-r₃a₅		c₃₃=a₆-r₃a₇		c_j3=c_j+1,1-r₃c_j+1,2
r₄= a₁/c₁₃	4	c₁₄=a₃-r₄c₂₃	c₂₄=a₅-r₄c₃₃
……
r_i= c_1,i-2/c_1,i-1	i	c_1i=c_2,i-2-r_ic_2,i-1		0	0		0

Таблица заполняется следующим образом. В первые две строки записываются последовательно коэффициенты характеристического уравнения четными и нечетными индексами. Они обозначаются как переменные с с индексами, обозначающими номера столбца и строки, на пересечении которых находится данная ячейка таблицы. Если одна из ячеек остается незаполненной, в нее вписывают 0. Начиная с третьей строки, вычисляются коэффициенты r, определяемые как отношение переменных в двух предшествующих строках первого столбца. Далее коэффициенты во всех ячейках вычисляются как разность переменных в двух предшествующих строках следующего столбца с учетом коэффициента r в данной строке. По мере перехода от верхних строк к нижним содержание ячеек в правых столбцах обращается в 0. Заполнение таблицы прекращается, когда значащая величина остается только в первом столбце.

Система устойчива в том и только том случае, если все значения в ячейках столбца 1 положительны. В противном случае система неустойчива, а число правых корней равно числу переходов через 0 в первом столбце.

Например, для системы 3-го порядка таблица Рауса имеет вид

r_i	Строка i	Столбец j
r_i	Строка i	1	2
	1	a₀=c₁₁	a₂=c₂₁
	2	a₁=c₁₂	a₃=c₂₂
r₃= a₀/a₁	3	c₁₃=a₂-r₃a₃	0

В этом случае условия устойчивости: a₀> 0, a₁> 0, a₂- a₃(a₀/a₁) >0

Несмотря на видимую громоздкость таблицы Рауса, ее заполнение легко программируется и не представляет больших трудностей, если коэффициенты характеристического уравнения заданы в численном виде. При этом порядок системы может быть сколь угодно большим. Однако для анализа условий устойчивости в общем виде этот критерий неудобен.

Содержание