6.2 Теоремы Ляпунова.
Практически все системы автоматического управления, за редкими исключениями, не являются, строго говоря, линейными. При выводе дифференциального уравнения функционального элемента системы с целью представления его в виде одного из типовых динамических звеньев применяется прием линеаризации, как это показано при выводе уравнения одноемкостного объекта (раздел 5.1.3). Для этого при разложении в ряд Тейлора функций подвода и отвода отбрасывались члены высших порядков в предположении, что они пренебрежимо малы вблизи точки равновесия. Теоремы Ляпунова устанавливают границы обоснованного применения критериев устойчивости линеаризованной системы к реальным системам.
Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы - левые, действительная система (как и линеаризованная) устойчива. Добавление членов и производных второй и высших степеней не отражаются на устойчивости системы.
Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью (правый), то действительная система, как и линеаризованная, будет неустойчивой, даже если учесть производные второго и высших порядков.
Если среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто мнимые корни, для оценки устойчивости системы необходим учет производных высших порядков, так как в этом случае поведение реальной системы может существенно отличаться от линеаризованной. Такой случай называют критическим.
В практическом отношении теоремы Ляпунова позволяют без всяких оговорок пользоваться критериями устойчивости для линеаризованных систем, поскольку ни один конструктор не допустит в производство систему, хотя бы приближающуюся к границе устойчивости.
- Введение
- 3.3. Преобразование Лапласа и передаточные функции
- 4. Типовые динамические звенья и их соединения
- 4.1. Типовые звенья
- 4.1.2. Апериодическое (инерционное) звено 1 порядка.
- 4.1.3. Реальное дифференцирующее звено
- 4.1.4. Интегрирующее звено.
- 4.1.5 Звено чистого запаздывания
- 4 .1.6. Звено второго порядка
- 4.2. Соединения звеньев
- 4.2.1. Последовательное соединение
- 4.2.2. Параллельное соединение
- 4.2.3. Встречно-параллельное соединение (обратная связь).
- 4.3. Последовательность составления дифференциального уравнения системы управления
- 5.1.1. Основные определения
- 5.1.2. Статические характеристики объекта.
- 5.1.3. Уравнение движения одноемкостного объекта.
- 6.2 Теоремы Ляпунова.
- 6.3. Алгебраические критерии устойчивости. Необходимое условие устойчивости.
- 6.4.1 Критерий (алгоритм) Рауса.
- 6.4.2 Матрица Гурвица
- 6.5. Диаграмма Вышнеградского.
- 6.6. Частотные критерии устойчивости. Принцип аргумента.
- 6.7. Критерий Михайлова
- 6.8. Критерий Найквиста
- 7.2. Статическая ошибка системы управления