6.2 Теоремы Ляпунова.

Практически все системы автоматического управления, за редкими исключениями, не являются, строго говоря, линейными. При выводе дифференциального уравнения функционального элемента системы с целью представления его в виде одного из типовых динамических звеньев применяется прием линеаризации, как это показано при выводе уравнения одноемкостного объекта (раздел 5.1.3). Для этого при разложении в ряд Тейлора функций подвода и отвода отбрасывались члены высших порядков в предположении, что они пренебрежимо малы вблизи точки равновесия. Теоремы Ляпунова устанавливают границы обоснованного применения критериев устойчивости линеаризованной системы к реальным системам.

1. Если все корни характеристического уравнения линеаризованной системы - левые, действительная система (как и линеаризованная) устойчива. Добавление членов и производных второй и высших степеней не отражаются на устойчивости системы.

2. Если среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один корень с положительной вещественной частью (правый), то действительная система, как и линеаризованная, будет неустойчивой, даже если учесть производные второго и высших порядков.

3. Если среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто мнимые корни, для оценки устойчивости системы необходим учет производных высших порядков, так как в этом случае поведение реальной системы может существенно отличаться от линеаризованной. Такой случай называют критическим.

В практическом отношении теоремы Ляпунова позволяют без всяких оговорок пользоваться критериями устойчивости для линеаризованных систем, поскольку ни один конструктор не допустит в производство систему, хотя бы приближающуюся к границе устойчивости.