6.7. Критерий Михайлова

Этот критерий устойчивости сформулирован Михайловым в 1938 г. Представим комплексный полином A(iω) = a₀(iω)ⁿ + a₁(iω)^n-1 + … + a_n в виде А(iω) = X(ω) + iY(ω), где

X(ω) = a_n - a_n-2ω² + a_n-4ω⁴ + … - функция четных степеней p

Y(ω) = ω(a_n-1 - a_n-3ω² + a_n-5ω⁴ + …) - функция нечетных степеней p

Величины X(ω) и Y(ω) называют вещественной и мнимой функциями Михайлова. Годограф, описываемый вектором А(iω) на комплексной плоскости, называется кривой Михайлова.

Применительно к кривой Михайлова, условие устойчивости, требующее, чтобы характеристическое уравнение не имело чисто мнимых корней и корней с положительной вещественной частью, означает следующее.

1. Так как все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными X(0) = a_n > 0.При этом Y(0)= 0

2. Отсутствие чисто мнимых корней означает, что А(iω) ≠ 0 во всем диапазоне частот от нуля до бесконечности. Это означает, что кривая Михайлова не пересекает начало координат.

3. Отсутствие правых корней подразумевает, что годограф Михайлова при изменении частоты от нуля до бесконечности.

В совокупности эти 3 условия приводят к следующей формулировке критерия Михайлова:

Для того, чтобы система автоматического управления n-го порядка была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова А(iω) при изменении частоты от 0 до бесконечности, начиналась на вещественной положительной полуоси, обходила в положительном направлении последовательно n квадрантов координатной плоскости. Частоты, при которых кривая А(iω) пересекает координатные оси, обозначают ω₀ ,ω₁ ,ω_n Например, для системы 1-го порядка X(ω) = a_1; Y(ω)= a₀ ω; ω₀ = 0

Система 2-го порядка: X(ω) = a₂ - a₀ ω²; Y(ω)= a₀ ω; ω₀ = 0; ω₁ = (a₂ / a₀ )^1/2;

Система 3-го порядка: X(ω) = a₃ - a₁ ω²; Y(ω)= ω(a₂ - a₀ ω²); ω₀ = 0; ω₁ = (a₃ / a₁ )^1/2 ;ω₂=(a₂ / a₀ )^1/2 и т.д.

Кривая Михайлова уходит в бесконечность в квадранте, номер которого соответствует порядку системы.

На рис. 37 показаны формы кривой Михайлова для устойчивых систем от первого до четвертого порядка (а) и для различных вариантов неустойчивых систем (б, в, г, д). Система на рис. 37 б неустойчива, потому что начинается на левой полуоси (отрицательный свободный член). Система на рис. 37 в - 5-го порядка, годограф не выходит за пределы 1-го квадранта. Система на рис. 37 г начинается в начале координат и, следовательно, имеет нулевой корень. Годограф системы по рис. 37 д проходит через начало координат и, следовательно, имеет пару чисто мнимых корней.

Для оценки устойчивости системы нет необходимости строить полностью кривую Михайлова. Достаточно убедиться в том, что она поочередно пересекает кривые X(ω) и Y(ω). Иначе говоря, корни уравнения Y(ω)=0 (ω₀ , ω₂, ω₄…) должны чередоваться по величине с корнями уравнения Х(ω)=0 (ω₁ , ω₃, ω₅…).

Система автоматического управления устойчива тогда и только тогда, когда функции Михайлова, приравненные нулю, имеют действительные, положительные и перемежающиеся корни, причем общее число корней равно порядку системы, а при ω = 0 X(0) > 0 и Y'(0) > 0.

Например, для системы 5-го порядка анализ устойчивости сводится к решению двух уравнений

a₅ - a₃ω² + a₁ω⁴ = 0,

ω(a₄ - a₂ω² + a₀ω⁴)= 0

Оба уравнения - квадратные относительно ω² и дают 5 решений от ω₀ = 0 до ω₅ . Далее достаточно убедиться, что ω₀ < ω₂ < ω₃ < ω₄ < ω₅ . Если вычисление всех корней по каким-либо причинам неудобно, достаточно найти, например, точки пересечения кривой Михайлова с осью абсцисс из условия Y(ω)=0, а затем убедиться в том, что при подстановке значений ω₀ , ω₂, ω₄… в выражение для Х(ω) получаются значения, чередующиеся по знаку. Например, для системы 6-го порядка уравнение Y(ω)=0 сводится к квадратному, в то время как Х(ω)=0 дает кубическое уравнение. Тогда такой прием значительно упрощает анализ устойчивости.

Как видно, критерий Михайлова более удобен для анализа устойчивости систем высокого порядка, чем матрица Гурвица.