Ряд Тейлора. Ряд Маклорена

Рядом Тейлора, расположенным по степеням (x – x₀), для функции f(x) называется степенной ряд

(13)

где …, … – производные функции f(x) в точке

При x = 0 ряд Тейлора, расположенный по степеням х, имеет вид

. (14)

Формула (14) представляет частный случай формулы Тейлора (13). Формула (14) называется формулой Маклорена.

Пример 18. Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 2).

Решение

Найдем значения функции f(x) и ее последовательных производных …, при x₀ = 2:

1) значение функции f(x₀) при x₀ = 2: f(x₀) = f(2)

2) производную первого порядка: ее значение при x₀ = 2:

3) производную второго порядка: ее значение при x₀ = 2:

4) производную третьего порядка: ее значение при x₀ = 2:

Тогда производная п-го порядка будет равна: а ее значение при x₀ = 2:

Подставив x₀ = 2, а также найденные значения функции f(x) и производных f    (x₀), …, f ⁽ⁿ⁾(x₀) при x₀ = 2 в формулу (13), получим

Пример 19. Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням х (т. е. составить ряд Маклорена).

Решение

Найдем значения функции f(x) и ее последовательных производных …, при x₀ = 0:

1) значение функции при x₀ = 0:

2) производную первого порядка: ее значение при x₀ = 0:

3) производную второго порядка: ее значение при x₀ = 0:

4) производную третьего порядка: , ее значение при x₀ = 0:

Тогда производная п-го порядка будет равна: а ее значение при x₀ = 0:

Подставив найденные значения функции f(x) и производных …, при x₀ = 0 в формулу (14), получим

.

Пример 20. Для функции f(x) составить ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 5).

Решение

У функции f(x) нет ряда Тейлора, расположенного по степеням (x – 5), так как функция f(x) в точке x = 5 не определена.

Тест 28. Для функции f(x) ряд Тейлора, расположенный по степеням (x – 5), имеет вид:

1) ;

2) у данной функции нет ряда, расположенного по степеням (x – 5);

3) ;

4) .

Тест 29. Ряд Маклорена получается из ряда Тейлора:

1) при x = 1;

2) при x = –1;

3) при x = 0;

4) при x = 5;

5) при x = 2.