Понятие степенного ряда

Важнейшие для практики функциональные ряды – это степенные ряды.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

, (11)

где числа а₀, а₁, а₂,  – коэффициенты ряда;

– общий член степенного ряда (a_n  0).

Данный ряд называется степенным потому, что членами ряда служат степенные функции, показателями степеней которых являются целые неотрицательные числа.

Степенной ряд всегда сходится при х = 0.

Теорема Абеля. Если ряд (11) сходится при х = х₀ (х₀  0), то он сходится абсолютно при любых значениях, для которых выполняется неравенство

Если ряд (11) расходится при то он расходится при любых значениях х, для которых выполняется неравенство

Областью сходимости степенного ряда называется совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится.

Число R – такое, что при ряд сходится, а при – расходится, называется радиусом сходимости степенного ряда.

Интервал (–R; R) называется интервалом сходимости степенного ряда. При x = –R, x = R ряд может как сходится, так и расходится.

Радиус сходимости степенного ряда может быть найден по формуле

(12)

Пример 15. Найти радиус, интервал, область сходимости степенного ряда .

Решение

1. n-й член данного степенного ряда равен n + 1-й член данного степенного ряда равен

Коэффициенты при n-м и n+1-м членах ряда соответственно равны По формуле (12) находим радиус сходимости

Таким образом, радиус сходимости: R = 1.

2. Интервал сходимости будет иметь вид (–1; 1).

3. Найдем область сходимости, для этого исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости: при x = –1 и x = 1.

При x = –1 получим числовой ряд с общим членом Это знакочередующийся ряд. Для его сходимости применим признак Лейбница: если n = 1, то если n = 2, то если n = 3, то

Члены данного числового ряда убывают по абсолютной величине

,

следовательно, первое условие признака Лейбница выполняется.

Проверим выполнение второго условия признака Лейбница

Общий член с возрастанием номера n стремится к нулю, следовательно, второе условие признака Лейбница выполняется.

Таким образом, согласно признаку Лейбница ряд сходится и значение x = –1 надо включить в интервал сходимости.

При x = 1 получим числовой ряд с общим членом Это гармонический ряд, который расходится. Следовательно, значение x = 1 не включаем в интервал сходимости.

Таким образом, область сходимости данного степенного ряда имеет вид [–1; 1).

Тест 15. Степенной ряд задан формулой общего члена Коэффициент при n-м члене равен:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 16. При x = 0 степенной ряд a_n  0:

1) сходится;