Ответы на тестовые задания

2) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

f(x), (12)

где p и q – постоянные;

функция f(x) – непрерывная.

Общее решение неоднородного уравнения можно представить в виде

где y₀(x) – общее решение соответствующего однородного уравнения;

y_n(x) – частное решение неоднородного уравнения.

Тест 31. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 32. Линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами является уравнение вида:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 33. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами f(x) имеет вид:

1) 

2)  где – общее решение соответствующего однородного уравнения;

3) 

4)  , где – частное решение неоднородного уравнения;

5)  где – общее решение соответствующего однородного уравнения, – частное решение неоднородного уравнения.

Несколько простейших случаев отыскания частных решений уравнения (12) приведены ниже.

1. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f(x) (13)

где – многочлен степени n.

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 4.

Таблица 4

В равенствах 14–16 Q_n(x) – многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

Напомним, что если n = 0, то Q_n(x) = A; n = 1, то Q_n(x) = Ax + B; n = 2, то Q_n(x) = Ax² + Bx + C и т. д.

Пример 10. Определить вид частного решения уравнения

Решение

Запишем соответствующее однородное уравнение

1. Характеристическое уравнение k² – 4k + 3 = 0 имеет корни k₁ = 1; k₂ = 3.

2. В правой части данного уравнения функция вида (13)

3. Здесь  = 2 – не является корнем характеристического уравнения; – многочлен первой степени.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (14), т. е. = e^2x(Ax + B).

2. Пусть в правой части уравнения (12) функция

f(x) (17)

где C₁ и C₂ – постоянные.

Тогда частное решение уравнения (12) будем искать в виде решений, приведенных в таблице 5.

Таблица 5

Пример 11. Определить вид частного решения уравнения

Решение

Запишем соответствующее однородное уравнение

1. Характеристическое уравнение k² + 4k – 2 = 0 имеет корни

2. В правой части данного уравнения функция вида (17) f(x) т. е. f(x)

3. Здесь  = 0;  = 2. Составленные из этих значений комплексные числа   i = 0  2i не являются корнями характеристического уравнения.

Следовательно, частное решение данного неоднородного уравнения надо искать в виде (18), т. е. или

Тест 34. Характеристическое уравнение k² – 4k + 3 = 0, соответ- ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корни k₁ = 1; k₂ = 3. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

Тест 35. Характеристическое уравнение k² – 4k + 4 = 0, соответ- ствующее однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами имеет корень k = 2. Тогда частное решение соответствующего неоднородного уравнения имеет вид:

1)

2)

3)

4)

5)

После того, как вид частного решения определен, методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты A и B.