3.4. Определение передаточной функции линейных динамических систем на основе спектральных плотностей

При исследовании линейных динамических систем удобно пользоваться спектральной плотностью, которая является характеристикой стационарного случайного процесса. Во многих случаях, особенно при изучении преобразования стационарных случайных процессов ЛДС, спектральная плотность оказывается более удобной характеристикой, чем корреляционная функция.

Спектральная плотность случайного процесса определяется как преобразование Фурье корреляционной функции :

. (3.28)

Если воспользоваться формулой Эйлера , то (3.28) можно преобразовать к виду

. (3.29)

Так как – нечетная функция τ, то в последнем выражении второй интеграл равен нулю. Учитывая, что – четная функция τ, получаем

. (3.30)

А поскольку , то из (3.30) следует, что

. (3.31)

Таким образом, спектральная плотность является действительной и четной функцией частоты ω. Поэтому на графике эта плотность всегда симметрична относительно оси ординат.

Если спектральная плотность известна, то по формуле обратного преобразования Фурье можно найти соответствующую ей корреляционную функцию:

. (3.32)

Спектральная плотность может быть получена и непосредственно по реализации случайного процесса без предварительного вычисления корреляционной функции. Если известна реализация случайного процесса , то можно найти ее изображение Фурье, введя ограничение, связанное с тем, что для существования преобразования Фурье необходимо, чтобы при подынтегральная функция стремилась к нулю, а реализация стационарного случайного процесса таким свойством не обладает. Поэтому рассматривается функция , совпадающая с функцией на конечном интервале от до , а за пределами этого интервала – равная нулю:

при , при . (3.33)

Изображение Фурье для функции существует и имеет вид

. (3.34)

Комплексную функцию частоты называют спектральной функцией (текущим спектром) реализации , определенной в интервале .

Спектральная плотность выражается через спектральную функцию следующим образом:

, (3.35)

где – функция, комплексно-сопряженная с .

Рассмотрим некоторые свойства спектральных плотностей :

– спектральная плотность чистого случайного процесса, или белого шума, постоянна во всем диапазоне частот, Постоянство спектральной плотности белого шума во всем бесконечном диапазоне частот означает, что энергия белого шума распределена по всему спектру равномерно, а суммарная энергия процесса равна бесконечности. Это указывает на физическую нереализуемость случайного процесса типа белого шума, который является математической идеализацией реального процесса;

– спектральная плотность постоянного сигнала представляет собой δ-функцию, расположенную в начале координат:

. (3.36)

Это означает, что вся мощность постоянного сигнала сосредоточена на нулевой частоте;

– спектральная плотность периодического сигнала представляет собой две δ-функции, расположенные симметрично относительно начала координат при и :

; (3.37)

– спектральная плотность временной функции, разлагаемой в ряд Фурье , на основании изложенного выше имеет вид

. (3.38)

Этой спектральной плотности соответствует линейчатый спектр с δ-функциями, расположенными на положительных и отрицательных частотах гармоник.

Таким образом, спектральная плотность стационарного случайного процесса на выходе линейной системы равна спектральной плотности случайного процесса на входе системы, умноженной на квадрат модуля частотной передаточной функции этой системы:

.

Следовательно, зная спектральные плотности случайного процесса на входе и выходе системы, можно определить частотную передаточную функцию.