§2. Приклади задач , що приводять до диференціальних рівнянь .
Задачі , розв’язання яких зводиться до диференціальних рівнянь ,що містять похідні або диференціали дуже різні .
При складанні диференціального рівняння задачі у вигляді співвідношення між похідними використовується геометричний , фізичний та механічний зміст похідної . Крім того , в залежності від умови, використовуються відомі закони фізики , хімії , механіки та інших наук і різні математичні відомості .
Задача 1. Знайти рівняння лінії , що проходить через точку ( 1;3) і має дотичну , кутовий коефіцієнт якої дорівнює 2х – 3.
Розв’язання. Використовуючи умову , складемо диференціальне рівняння :
Знайдемо загальний розв’язок цього рівняння :
Підставивши початкові дані х=1, у=3 в загальний розв’язок , одержимо С=5. Тоді частинний розв’язок має вигляд у=х2-3х+5 .
Задача 2. Знайти залежність швидкості падіння тіла в повітрі , якщо сила протидії повітря пропорційна квадрату швидкості v і площі S найбільшого перетину тіла , перпендикулярного до напрямку руху , F=kSv2
Розв’язання . Згідно умови задачі і другого закону Ньютона в механіці , диференціальне рівняння руху центра тяжіння падаючого тіла буде
,
Вправи
9. Скласти рівняння кривої , що проходить через точку (1; 3) , якщо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в кожній її точці дорівнює – 2х .
10. Знайти рівняння кривої , яка має властивість , що кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці кривої в 2 рази менший абсциси точки .
11. Швидкість тіла , що виходить із стану спокою , дорівнює 5t2 за час t секунд . Знайти шлях , який пройде тіло за 3с.
12. Скласти рівняння руху тіла по осі оХ , якщо воно почало рух з точки М(4;0) із швидкістю v=2t+3t2.
13. Швидкість розпаду радію пропорційна його кількості в даний момент часу . Знайти закон радіоактивного розпаду , якщо відомо , що через 1600 років залишиться половину початкової кількості радію .
14. Швидкість розмноження деяких бактерій пропорційна їх кількості в деякий момент часу t . Кількість бактерій потроїлася протягом 5 год Знайти залежність кількості бактерій від часу .
- §1.Поняття про диференціальні рівняння
- §2. Приклади задач , що приводять до диференціальних рівнянь .
- § 3. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими змінними .
- §4. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними .
- §5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку
- §6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку .
- Алгоритм розв’язання
- §7.Рівняння , які зводяться до лінійних . Рівняння Бернуллі та Ріккаті .
- 8. Рівняння в повних диференціалах .
- Деякі застосування диференціальних рівнянь першого порядку .
- Запитання для самоконтролю:
- Диференціальні рівняння вищих порядків.
- §10.Основні поняття та означення . Задача Коші.
- §11.Простіші диференціальні рівняння другого порядку .
- §12. Лінійні однорідні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами .
- §13. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку.
- Запитання для самоконтролю
- Системи диференціальних рівнянь
- §14.Нормальні системи рівнянь .
- Список літератури