6. Показательный закон распределения

Непрерывная случайная величина имеетпоказательный (экспоненциальный) закон распределения, если её плотность вероятности задаётся равенствами:

(23)

гдепараметр распределения.

График функции плотности приведён нарис. 32.

Рис. 32.

Теорема 9. 6. Для показательного закона непрерывной случайной величины имеют место формулы:

1.

2. .

Доказательство.Вычислим функцию распределения показательного закона. По определению имеем

,

Найдём числовые характеристики:

Согласно определению математического ожидания н.с.в.(формула (7), пункта 1., Т. 8.), и с учётом определения функции плотности имеем:

Вычисляя интеграл по частям, получим

Вычислим дисперсию на основе формулы (15) (п.2., Т.8.). С учётом равенства имеем

Дважды применяя интегрирование по частям, после несложных вычислений получим

Извлекая, квадратный корень из получим,Теорема доказана.

Отметим, также имеет место дифференциальный закон (проверьте!).

Характерное свойство показательного распределения является определением одним единственным параметром , и все числовые характеристики также определены тем же параметром. Обычно, значения функциинаходят по таблице.

Следствие. Вероятность попадания с.в. , в интервале, распределенной по показательному закону, вычисляется по формуле

(24)

Доказательство прямо выводится из формулы (13), п. 5., Т. 7., с учётом равенства 1. , теоремы 6. Действительно, имеем

Пример 8. Пусть случайная величина выражает время работы некоторого элемента микросхемы и имеет показательное распределение. Найти вероятность того, что элемент микросхемы проработает не менее 800 часов, если среднее время работы элемента равна 400 часов (т.е. м.о. равно 400).

Решение. Так математическое ожидание равно 400, то Следовательно, искомая вероятность

Пример 9. Непрерывная случайная величина распределена по показательному закону с функцией плотности

Найти вероятность того, что в результате испытания с.в.попадает в интервал (0,3;1).

Решение.По условию задачиТогда по формуле (24) имеем

Задание. Выписать явный вид функции распределения, найти численные значения числовых характеристик:

Замечаний: 1. На практике часто встречаются показательно распределённая случайная величина, где параметр неизвестен. Если математическое ожидание также неизвестно, то обычно находят его приближенное значение, в качестве которой принимают «выборочную среднюю». Тогда приближенное значение параметранаходят с помощью равенства.

2. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного закона равны между собой, поэтому в приложениях их оценки должны различаться незначительно. Если оценки окажутся близкими одна к другой, то данные наблюдений подтверждают гипотезу о показательном распределении исследуемой случайной величины; если же оценки различаются существенно, то гипотезу следует опровергнуть.

Показательное распределение широко применяется в приложениях теории вероятностей, особенно в теории массового обслуживания, в физике, а также используется для описания распределения случайной величины вида: длительность работы прибора до первого отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслуживания и т.д. В частности в теории надёжности, где одним из основных понятий является функция надёжности.