Простейшим функционалом является криволинейный интеграл
, (15.1)
зависящий от выбора одной функции . Здесь .
Основная задача вариационного исчисления (в применении к (15.1)) состоит в нахождении такой функции , которая: 1) доставляет экстремум функционалу (15.1) и 2) удовлетворяет граничным условиям
, (15.2)
где , – наперед заданные величины.
Простейший путь решения поставленной задачи состоит в следующем. Допустим, что задача решена и функция есть искомое решение вариационной задачи. Найдем необходимые условия, которым должна удовлетворять эта функция, чтобы функционал I имел экстремум. С этой целью построим новую функцию , близкую к (см. рис.)
, (15.3)
где - произвольная функция, удовлетворяющая таким граничным условиям чтобы подчинялась тем же условиям (15.2), что и , т.е.
, (15.4)
и - малый численный параметр.
Подстановка (15.3) в (15.1) приводит к некоторой вспомогательной функции параметра :
. (15.5)
Тем самым задача отыскания экстремума функционала (15.1) свелась к исследованию на экстремум функции одного переменного . А для этого, как известно, необходимо найти значение производной при и приравнять его нулю (при этом экстремум функционалу (15.1) доставляет по нашему предположению функция , которая получается из функции (15.3) при ).
Вычислим сначала производную от (15.5), используя известное правило дифференцирования интеграла по параметру:
. (15.6)
- Введение.
- Логическая структура современной физики.
- Границы применимости физической теории.
- Глава 1. Основные понятия и законы классической механики.
- §2. Классические представления о пространстве и времени и их арифметизация.
- §3. Кинематические и динамические характеристики механического движения.
- §4. Законы динамики Ньютона.
- §5. Принцип относительности Галилея.
- § 6. Основная задача динамики и роль начальных условий. Принцип причинности классической механики.
- § 7. Потенциальная энергия и классификация свободных механических систем.
- Глава. 2. Законы сохранения и принцип симметрии.
- § 8. Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения.
- § 9. Закон сохранения энергии и его связь с однородностью времени.
- § 10. Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства.
- § 11. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства.
- Глава 3. Основы аналитической механики.
- § 12. Постановка задачи о движении несвободной механической системы. Классификация связей.
- 13. Уравнения Лагранжа. Функция Лагранжа.
- С учетом (13.12) перепишем уравнения (13.11) в окончательном виде
- § 14. Функция Лагранжа и законы сохранения.
- § 15. Основная задача вариационного исчисления. Уравнения Эйлера.
- Простейшим функционалом является криволинейный интеграл
- Интегрируя второй интеграл в правой части (15.6) по частям с учетом предельных условий (15.4) получаем:
- Обобщим полученные результаты для функционала
- § 16. Принципы наименьшего действия Гамильтона-Остроградського.
- § 17. Канонические уравнения движения.
- Подставляя (17.8) в (17.7), получаем
- § 18. Скобоки Пуассона.
- § 19. Уравнение Гамильтона-Якоби.