4.2. Математическое описание и построение непараметрической модели линейных динамических систем

Известные методы идентификации линейных динамических систем имеют один существенный недостаток: эти методы могут быть применимы на практике только в том случае, когда объект идентификации очень хорошо изучен, т. е. известны тип и порядок уравнения или системы дифференциальных уравнений, описывающие данный объект. Однако во многих практических задачах нередко встречаются такие системы, точного описания которых по каким-либо причинам не существует. В таких случаях необходимо использовать методы идентификации в условиях неполной информации, например из класса непараметрических моделей.

Суть метода построения непараметрической модели ЛДС заключается в следующем: известно, что реакция ЛДС на входное воздействие описывается интегралом Дюамеля

. (4.1)

Вычисление значения выхода объекта при этом возможно, если известна его весовая функция h(t). Но для реального объекта невозможно или очень сложно получить такую функцию. Поэтому основная идея идентификации ЛДС в условиях непараметрической неопределенности состоит в непараметрическом оценивании весовой функции.

Пусть на вход ЛДС подано единичное ступенчатое воздействие 1(t), , где – время окончания переходного процесса; 1(t) – функция Хевисайда. Обозначим через реализацию наблюдений входа-выхода объекта, причем наблюдения выходной переменной осуществляются в дискретные моменты времени через интервал со случайной статистически независимой помехой. Непараметрическая оценка интеграла Дюамеля при ненулевых начальных условиях в общем виде будет выглядеть следующим образом:

, (4.2)

где , – соответственно оценки переходной и весовой функции системы.

Значения переходной k(t) есть не что иное, как кривая регрессии. Существует непараметрический метод оценки кривой регрессии, общий вид которого для скалярной величины выглядит следующим образом:

, (4.3)

где – непараметрическая оценка регрессии ; Ф( ) – колоколообразная, или ядерная функция. Функция Ф( ) должна удовлетворять условиям

,

(4.4)

а параметр размытости С_s – условиям

(4.5)

В качестве примера приведем возможные виды функций Ф(u):

(4.6)

(4.7)

В оценке (4.3) точки x_i располагаются на различном расстоянии, т. е. шаг не является константой. Произведем генерацию новой выборки с постоянным шагом , состоящей из s элементов . Тогда оценка регрессии примет вид

. (4.8)

Домножим числитель и знаменатель на

. (4.9)

Отметим, что знаменатель в формуле (4.9) – это оценка плотности вероятности , а так как шаг постоянный, то и оценка тоже будет постоянной: . Внесем эту константу в функцию Ф( ) и получим новую колоколообразную функцию Н( ):

. (4.10)

С учетом (4.10) оценка кривой регрессии приобретет вид

. (4.11)

Будем считать, что значения переходной функции представляют собой регрессию, а шаг дискретизации постоянен. Тогда оценка переходной функции будет следующей:

, (4.12)

где – дискретные измерения значений переходной характеристики ЛДС; – колоколообразная функция; – параметр размытости.

Переходная функция k(t) связана с весовой функцией, производной по времени:

.

Тогда непараметрическая оценка весовой функции примет следующий вид:

. (4.13)

Подставив эту оценку в интеграл Дюамеля, получим непараметрическую модель ЛДС:

(4.14)

При программной реализации этой модели воспользуемся численным методом прямоугольников:

(4.15)

где τ – переменная интегрирования, которая изменяется с дискретностью ( ).

В непараметрической модели колоколообразные функции и параметр размытости C_s должны удовлетворять следующим условиям сходимости:

а) ;

б) ;

в) , .

Существует ряд функций , удовлетворяющих данным условиям, которые можно использовать при расчетах:

– функция косинуса:

(4.16)

– функция Соболева:

(4.17)

Эти функции могут использоваться при оценке производных, так как они многократно дифференцируемы (рис. 4.2).

Исследование влияния вида колоколообразных функций на точность оценивания привело к выводу, что вид этих функций незначительно влияет на точность аппроксимаций. Поэтому для облегчения расчетов можно брать любые виды колоколообразных функций, широко применяемые в непараметрическом оценивании, в том числе треугольные, параболические и др., если они удовлетворяют приведенным выше условиям сходимости. В качестве производных функции могут быть использованы не аналитические выражения, а их кусочно-постоянные аналоги, определяемые при помощи метода графического дифференцирования. В этом методе величина ступеньки в кусочно-постоянном аналоге определяется исходя из выполнения условий сходимости (рис. 4.3).

Оценка весовой функции, где в качестве производной колоколообразной функции используется ее кусочно-постоянный аналог, имеет следующий вид:

, (4.18)

где

(4.19)

(4.20)

Рис. 4.2. График колоколообразной функции

Рис. 4.3. Функция Соболева, ее производные и кусочно-постоянные

аналоги производных (обозначены )

Таким образом, использование кусочно-постоянных аналогов позволяет расширить класс колоколообразных функций при построении непараметрических моделей ЛДС.