3.3. Частотный метод описания линейных динамических систем

Если функция удовлетворяет условиям, допускающим ее представление в виде двойного интеграла Фурье, и, кроме того, при , то имеет место соотношение

, (3.8)

где

. (3.9)

Формула (3.9) называется односторонним преобразованием Фурье. Функцию будем называть преобразованием Фурье функции или фурье-изображением. Этот результат следует понимать в том смысле, что если функция определена выражением (3.9) через функцию , удовлетворяющую указанным условиям, то интеграл, стоящий в правой части равенства (3.8), равен при и нулю при .

Обратное утверждение также будет справедливо, если заданная функция удовлетворяет некоторым условиям, которые приводят к тому, что между вещественной и мнимой частями функции существует определенная связь. Это обстоятельство имеет важное значение при решении вопросов анализа и синтеза систем с заданными частотными свойствами.

Формула (3.8) показывает, что заданная на интервале функ- ция может быть представлена в виде суммы простых гармонических колебаний с комплексными амплитудами , образующих безгранич- ный сплошной спектр, причем является преобразованием Фурье функции (3.9).

Представление интегралом (3.8) входного сигнала заменяет действие на систему практически произвольного вида сигнала действием суммы простых гармонических сигналов. Применив к линейной системе принцип суперпозиции, получим, что реакция системы на практически произвольный входной сигнал может быть определена, если известна ее реакция на входной сигнал в виде простого гармонического колебания. Это колебание играет в частотном методе роль стандартного сигнала подобно той роли, которую играет единичная импульсная функция в методе интеграла свертки.

Известно, что при действии на входе линейной системы гармонического сигнала вида

(3.10)

выходной сигнал также является гармонической функцией времени той же частоты ω, но другой амплитуды, причем его фаза сдвинута относительно фазы входного сигнала (рис. 3.15), а именно:

. (3.11)

Здесь под знаком стоят комплексные выражения соответствующих гармонических функций, причем и являются комплексными амплитудами этих функций. Величины и φ зависят от параметров системы и от частоты ω.

Рис. 3.15. Сдвиг фаз входного и выходного сигналов

Комплексным коэффициентом передачи называют отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов:

. (3.12)

Таким образом, комплексный коэффициент передачи является комплексным числом, модуль которого равен отношению амплитуд выходного и входного сигналов, а аргумент – сдвигу по фазе между этими сигналами.

Способ вычисления выходного сигнала частотным методом очень прост. Если входной сигнал записать в виде

, (3.13)

где

, (3.14)

то каждая из гармонических составляющих входного сигнала обусловит соответствующую гармоническую составляющую выходного сигнала с комплексной амплитудой:

. (3.15)

С учетом (3.15) выходной сигнал может быть представлен в виде

, (3.16)

причем

.

Согласно соотношению (3.15), комплексный коэффициент передачи определяется отношением преобразований Фурье входного и выходного сигналов:

. (3.17)

Этот коэффициент исчерпывающим образом характеризует частотные свойства линейной системы, и его общий вид легко определяется из общего уравнения движения системы. Действительно, подставляя в уравнение (3.1) и определяя частное решение в виде , находим

откуда

. (3.18)

Сравнение (3.18) с выражением (3.2) показывает, что комплексный коэффициент передачи может быть получен из передаточной функции заменой в ней комплексного числа на :

. (3.19)

Необходимо подчеркнуть, что, как и при определении передаточной функции, мы предполагаем начальные условия нулевыми. Ограничимся частным решением неоднородного уравнения движения (3.1). Поскольку гармонический сигнал существует вечно (–∞ < t < ∞), а реальный процесс в системе происходит только при , то этот сигнал имеет вспомогательное значение. Именно этим обстоятельством обусловлено применение одностороннего преобразования Фурье (3.9). Если при система не находится в покое, то в частотном методе необходимо найти способ учета ненулевых начальных условий. Это проще всего сделать, установив связь между преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, которая сама по себе имеет огромное значение.

Сделаем это следующим образом. В основе операционного исчисления лежат формулы обращения Римана–Меллина

, (3.20)

, (3.21)

где – начальная функция (оригинал); – преобразование Лапласа функции (L-изображение). Эти формулы взаимны, если и функция и функция удовлетворяют следующим условиям:

а) при ;

б) сходится абсолютно;

в) является регулярной функцией в полуплоскости комплексной переменной ;

г) сходится абсолютно при .

Условие «в» указывает, что полюсы функции лежат слева от прямой , параллельной мнимой оси (рис. 3.16).

Преобразование Фурье функции определяется выражениями

, (3.22)

. (3.23)

При этом функция должна удовлетворять следующим условиям:

а) при ;

б) сходится абсолютно.

Таким образом, преобразование Фурье согласно условию «б» выполняется для более ограниченного класса функций, чем преобразование Лапласа.

Возвращаясь к задаче учета нулевых начальных условий в частотном методе, отметим, что преобразования Фурье представляют собой функции, регулярные в нижней полуплоскости комплексной переменной , для которой . Это ограничение необходимо при задании функции с тем, чтобы она представляла собой преобразование Фурье и определяла начальную функцию, которая равна при и нулю при .

Рис. 3.16. Расположение полюсов функции

На основании изложенного можно записать следующие соотношения, позволяющие найти преобразования Фурье функции и комплексный коэффициент передачи по известным L-изображениям и передаточной функции:

, , (3.24)

. (3.25)

Передаточная функция при является преобразованием Лапласа функции веса

. (3.26)

Заменяя (3.26) на , получаем

, (3.27)

т. е. комплексный коэффициент передачи является преобразованием Фурье функции веса.

При ненулевых начальных условиях следует произвести алгебраизацию уравнений, используя преобразование Лапласа, а затем произвести замену на .

Частотный метод можно рекомендовать и в случае, когда система в начальный момент времени находится в покое, особенно когда нахождение преобразования Фурье функции непосредственно из уравнений движения оказывается затруднительным в силу абсолютной интегрируемости преобразуемых функций.

Частотный метод имеет важное значение и в тех случаях, когда уравнение движения системы неизвестно. В таких случаях сведения о динамических свойствах системы можно получить на основании ее частотных характеристик.