37 Линейные ду первого порядка

Лин ДУ I порядка – это ур-ния вида:

А(х)y`+Bx(y)=C(x), где А не=0. Разделив это ур-ние на А(х) получим: у`+P(x)y=f(x) (1)

Будем искать решение в виде произведения 2-х ф-ций y=uv, где u=u(x), v=v(x), у`=u`v+uv` ,

в ур-ние (1) подставим у и у` и получим : u`v+v`u+P(x)uv=f(x),

u’v+u(v’+p(x)v)=f(x) (*)

Подберем фун-ию v т. о. Что бы выраж. В ()обратилось в 0 v’+p(x)v=0 => dv/dx=-p(x)v => dv=-p(x)vdx => получ ур-ние с раздел. перем. Разделим на v: dv/v=-p(x)dx

38. Однородные линейные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейные ДУ второго порядка.

A(x)y'' + B(x)y' + K(x)y=ƒ(x) , где А(х) не≡ 0

A(x), B(x), K(x), ƒ(x) – непрерывны на некотором множестве, если ƒ(x)≡0, то урав-ние называется линейным однородным уравнением. Если ƒ(x)не≡0, то урав-ние называется неоднородным.

Задача Коши.

Найти решение ДУ у=φ(х) (1), удовлетв. следующим условиям:

y(x₀)=y₀

y'(x₀)=y'₀ , где x₀, y₀, y'₀ – данные числа

Если в уравнении (1) все слагаемые не А(х),то его можно привести к следующ. виду:

y″+ P(x)y' + q(x)y=Q(x) (2)

Свойства решений линейных однородных уравнений второго порядка.

Теорема 1.Если функции y₁=y₁(x), y₂₌ y₂(x) являются решениями линейного однор. уравн. второго порядка y″+ P(x)y' + q(x)y=0, то функция у=С₁·y₁(x) +С₂·y₂(x) является также решением уравнения (2).

Следствие: Если функция y=y₁(x) явл-ся решением урав-ния (2), то и функция у=С₁·y₁(x),

где С –постоянная, тоже явл-ся решением этого ур–ния.

Определение: 2 решения y₁=y₁(x) и y₂₌ y₂(x) уравнения (2) назыв-ся линейно независимыми если их отношение не≡const , в противоположном случае они назыв.

л инейно зависим.

Теорема 2 (об общем решении). Если y₁(x), y₂(x) линейно независимые решения урав-ния (2), то функция у=С₁·y₁(x) +С₂·y₂(x) явл-ся общим решением уравнения (2), С₁,С₂ – произв. постоянные.

Линейные однородные ур-ния второго порядка с постоянными коэф-тами.

Это уравнения вида: y″+py'+qy=0, где p,q – действ.числа (1)

Уравнение к²+pk +q=0 называетя характеристическим уравнением. (2)