2. Дисперсия случайной величины

Этот пункт начнём с рассмотрения, следующих примеров. Пусть д.с.в. , заданны следующими законами распределения:

Найдём математические ожидания случайных величин

В этих примерах математическое ожидание обеих случайных величин одинаковы, а возможные их значения различны, причём с.в. принимает относительно близкие значения к м.о., адалёкие значения от своего м.о.

Следовательно, зная только математическое ожидание случайной величины, ещё нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, тем более ни о том, как они распределены (рассеяны) в окрестности математического ожидания.

Это явление показывает, что математическое ожидание в общем случае случайную величину не может достаточно полно охарактеризовать.

По этой причине, наряду с понятием математического ожидания в теории вероятностей рассматривают и другие числовые характеристики: дисперсия (мера рассеяние с.в. от м.о. и понятие среднее квадратичное отклонение). Понятие дисперсия тесно связана с понятием квадратичного отклонения значения с.в. от своего м.о. В предыдущем пункте мы отметили важное свойство м.о.С.4.Это равенство показывает, что одни возможные отклонения положительны, а другие – отрицательны: в результате их взаимного погашения (происходит «интерференция»)среднее значение отклоненияокажется равным нулю. Поэтому, целесообразно заменить эти возможные отклонения их абсолютными значениями или их квадратами.

Следует заметить, что на практике удобно и в основном пользуются квадратом отклонения, так как функция квадратичного отклоненияявляется значительно «гладкой функцией» по сравнению с функцией абсолютного значения.

Дисперсией (рассеянием) дискретной с.в.называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от своего математического ожидания.

Это число обозначается или, если ясно о чем идет речь. Таким образом, по определению

(10) или. или

Из определения дисперсии следует, что она характеризует разброс значений с.в. относительно ее математического ожидания, и имеет место следующие равенства:

(11) , еслидискретная с.в.;

(12) еслинепрерывная с.в..

На практике для нахождения дисперсии удобно пользоваться следующей формулой.

Теорема 8.1. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата с.в.и квадратом ее математического ожидания:

(13) .

Доказательство. Математическое ожидание с.в.есть постоянное число, следовательно, величиныиесть также постоянные величины. На основании свойства м.о. имеем

.

Утверждение доказано.

Равенство (13) позволяет переписать равенства (11) и (12) в виде:

(14) , еслидискретная с.в.;

(15) ,еслинепрерывная с.в.

Очевидно, что ввиду непосредственно следуют справедливости неравенства:

если с.в.дискретна;

если с.в.непрерывна

Свойства дисперсии случайных величин.

С.1. Дисперсия постоянной величины равна нулю, т.е.

.

С.2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии, возведя его в квадрат, т.е.

.

С.3. Дисперсия суммы независимых с.в. равна сумме их дисперсий, т.е.

С.4. Дисперсия с.в. остается неизменным, если к этой с.в. прибавить постоянную величину, т.е. ( и с учётомС.2.) имеет место равенства

С.5. Если с.в.-независимы, то справедливо равенство

,

Проверим свойства дисперсии.

1.

2.

Замечание. Следует отметить, что прислучайная величинаимеет возможные значения (по абсолютной величине), большие, чем случайная величина.Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг м.о.больше, чем возможные значениявокруг, т.е.. Напротив, если, то.

3. На основании равенства (13) и свойства м.о. получим:

=,

Аналогично выводится и другая формула

потому, что для независимыхс.в. иимеет место равенство

С.4.выводится непосредственно изС.3.иС.1.СвойствоС.5. так же является следствием равенства (13). Достаточно использовать замену, а затем воспользоваться свойствами математического ожидания.

Заметим, что для нахождения значении дисперсии удобно пользоваться для д.с.в. равенством (14) и для н.с.в.равенством (15).