2.4.Определение линейной системы.

Рассмотрим линейную систему Q, преобразующую входной сигнал x(t) в выходной сигнал y(t) (рис.1).

Рис.1.

Система называется линейной, если она удовлетворяет принципу суперпозиции, который нестрого формулируется следующим образом: следствие от суммы причин равно сумме следствий от каждой из причин, взятых в отдельности. Это означает, что если y₁ и y₂ - реакции системы на входные сигналы x₁ и x₂, то реакция блока на входной сигнал х = с₁х₁+с₂х₂ должна быть равна у = с₁y₁ + c₂y₂ при любых числах с₁, c₂ и любых сигналах х₁, х₂. Нелинейной системой называется такая система, в состав которой входит хотя бы один элемент, описываемый нелинейным уравнением.

Классификация нелинейных элементов и систем. Нелинейные звенья классифицируются по различным признакам. Наибольшее распространение получила классификация по статическим и динамическим характеристикам. Эти характеристики могут быть как однозначными, так и двузначными (петлевыми), симметричными и несимметричными относительно начала координат.

Различают следующие основные типы нелинейных звеньев.

Нелинейные звенья с гладкими криволинейными характеристиками. Примеры таких характеристик приведены на рис.2..

Рис.2. Гладкие криволинейные характеристики:

а - гистерезисная; б, в - усилительные

На рис.2 а изображена двузначная гистерезисная (запаздывающая) характеристика. Характеристика (рис.2б) отображает насыщение или ограничение и соответствует реальному амплитудному усилителю, а характеристика (рис.2в) - реальному усилителю мощности. Характеристики (рис. 2а и 2б) нечетно-симметричные, а характеристика (рис. 2в)  четно-симметричная.

Нелинейные звенья с кусочно-линейными характеристиками. Некоторые из таких характеристик представлены на рисунке.

Рис.3. Кусочно-линейные характеристики:

а - с насыщением; б - с зоной нечувствительности;

в - с насыщением и зоной нечувствительности; г - люфт

Характеристика (рис.3 а) отображает насыщение, характеристика (рис.3б)  зону нечувствительности, а характеристика (рис.3в) соответствует звену, обладающему одновременно зоной нечувствительности и насыщением. Характеристика (рис.3г) позволяет учесть люфт или зазор кинематической передачи. Релейные звенья  это элементы, которые на своем выходе выдают конечное число фиксированных значений.

Таким образом, основные особенности нелинейных систем связаны со следующими их свойствами.

1.Наличием существенных нелинейностей.

2.Выходная величина нелинейной системы непропорциональна входному воздействию и форма реакции системы зависит от величины входного воздействия. Подавляющее большинство реальных элементов имеют нелинейные характеристики и, следовательно, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями.

3.Уравнение является нелинейным, если некоторые координаты или их производные по времени входят в уравнение в виде произведений или степени, отличной от первой, а также, если коэффициенты уравнения являются функциями некоторых координат или их производных. Существуют несколько подходов к анализу нелинейных систем. В первом подходе при составлении дифференциальных уравнений нелинейных систем сначала составляют дифференциальные уравнения для каждого устройства системы. При этом характеристики устройств, допускающих линеаризацию, линеаризуются. В результате получают систему дифференциальных уравнений, в которой одно или несколько уравнений являются нелинейными. Устройства, допускающие линеаризацию, образуют линейную часть системы, а устройства, которые не могут быть линеаризованы, составляют нелинейную часть. Путем эквивалентного преобразования структурных схем и нелинейных звеньев большое число нелинейных систем можно представить в виде замкнутого контура с последовательным включением нелинейного элемента (НЭ) и линейной части (ЛЧ). Во втором подходе считается, что многие нелинейные элементы можно линеаризовать, то есть составляются нелинейные дифференциальные уравнения, которые заменяются приближенными линейными.

При исследовании систем с помощью дифференциальных уравнений при времени, стремящемся к бесконечности t, текущие координаты системы y(t) и x(t) принимают постоянные установившиеся значения и наступает статика элемента, которая описывается алгебраическими уравнениями. В статике входные и выходные величины элемента постоянные: x()=x₀=const; y()=y₀=const. Эти постоянные величины называются установившимися. А процесс, соответствующий статике, называется установившимся процессом. Теоретически статика наступает при t, однако на практике принято считать, что статика наступает тогда, когда текущие координаты отличаются от своих установившихся значений не более чем на 5%.

Свойства (статические и динамические) реальных объектов, систем или процессов обычно описывается набором переменных, которые называются факторами (контролируемыми) переменными Х= (х1, …хn). Еще их называют входными переменными или предикторами (т.е. предсказателями). Факторами могут быть, например, характеристики электронных компонентов и материалов или параметры процессов в аналоговой или цифровой схемотехнике. Свойства систем характеризуют отклики или выходные переменные У=(y1,….yn). Это могут быть, например, физические, химические, информационные свойства производимого продукта или технико-экономические показатели процесса. Часто отклик является критерием оптимизации или целевой функцией, который требуется минимизировать. Конечной целью математического описания является построение математической модели объекта:

у=f(x), G={gi (х) = 0, i=1, …. n 1 }, H={ hi (х) <= 0, i=1, …. n 2 }, (1)

Для описания функционирования объекта, когда исходные данные полностью известны и достоверны, а случайные факторы пренебрежимо малы (можно считать, что все измерения производятся точно), используются детерминированные модели.

Если при измерениях хотя бы некоторых параметров наблюдаются случайные компоненты, то такие объекты описываются вероятностными (стохастическими) моделями. Детерминированные или аналитические модели позволяют учитывать все многообразие связей и факторов, оказывающих влияние на исследуемые объекты. Их получение не требует значительных средств: объект рассматривается как "черный ящик", а реальные взаимосвязи аппроксимируются некоторыми зависимостями. К статистическим математическим моделям относятся модели законов распределения вероятностей.

Построение аналитических моделей связано с проведением большого объема исследований, требующих проникновения в физическую сущность изучаемого объекта или значительных материальных затрат для полного описания задачи. Поэтому в этих моделях присутствуют те или иные упрощения. Перечисленные модели на практике не применяются в чистом виде. Для их исследования обычно используется некоторая комбинация методов, которую нужно уметь обоснованно выбирать. Например, вы хотите изучить связь между проектной стоимостью интеллектуальной системы измерения температуры в нескольких точках и суммой реально потраченных на это средств. Это может оказаться полезным для получения оценки ожидаемых перерасходов. В

этом случае разумно предположить, что абсолютная величина перерасходов (выраженная в долларах) пропорциональна стоимости проекта.

По размерности отклика различают скалярные (одномерные) и векторные (многомерные, многоканальные) модели. В одномерной модели предполагается, что зависимая переменная является линейной функцией независимых переменных, т.е.:

y = a + b1*x**1 + b2*x**2 + ... + bn*x**n . (2)

Распространенной “нелинейной” (векторной) моделью является модель полиномиальной регрессии (зависимости):

y = a + b1*x1 + b2*x2 + ... + bn*xn +с11*х1*х1 + с12*х1*х2 + … (3)

Термин нелинейная заключен в кавычки, поскольку это уравнение линейно по своей природе. Так как, в сущности, оно по-прежнему линейно, за исключением того, что при ее оценивании нам придется возводить наблюдаемую переменную в квадрат. Такие модели, где составляется линейное уравнение из некоторых преобразований независимых переменных, относятся к моделям нелинейным по переменным.

Существуют также модели, нелинейные по параметрам. Для сравнения с предыдущим примером рассмотрим зависимость между возрастом человека (переменная x) и его скоростью роста (переменная y). Очевидно, что соотношение между этими двумя переменными на первом году человеческой жизни (когда происходит наибольший рост) сильно отличается от соотношения во взрослом возрасте (когда человек почти не растет). Поэтому, эту ависимость лучше представить в виде какой-нибудь экспоненциальной функции с отрицательным показателем степени:

Рост = exp(-b₁*Возраст) . (4)

Если вы построите на графике оценку для коэффициента регрессии, то вы получите кривую следующего вида:

Рис.4.

Отметим, что эта модель по своей природе больше не является линейной, т.е. выражение, написанное сверху, не представимо в виде простой модели с некоторыми преобразованиями независимых переменных. Такие модели называются нелинейными по параметрам. Зависимость у от х характеризуется формой связи. Форма связи может быть линейной (Linear) f(x) = b0+b1x или нелинейной. Среди нелинейных (криволинейных) моделей обычно рассматриваются следующие виды зависимостей: квадратичная f(x) = b0+b1*x², параболическая k-го порядка f(x) = , экспоненциальная (Exponential) f(x) = , мультипликативная (Multiplicative) f(x) = , обратная по Y (Reciprocal-Y) f(x) = 1/f(x) = b0+b1*x и гиперболическая f(x) = b0+b1 /x. Вид зависимости выбирают исходя из опыта предыдущих исследований и знаний физической сущности процесса.