logo search
Shpory_-_Vsyo (1)

9. Вывод формулы вычисления объема тела вращения относительно оси ox и oy (в декартовой системе координат).

Пусть задано тело, ограниченное замкнутой поверхностью, известно S любого сечения плоскостью, перпендик. к OX –(поперечное)

1 . Разбив отрезок [a,b] на n частей a=Xₒ<X₁<X₂...<Xn=b

Обозначим ΔXk=Xk-Xk-1 , k=1,n

λ=max[a,b]{ΔXk}, через xk проводим поперечное сечение

2. Выберем ξk [xk-1, xk] произвольно и найдем S(ξk); каждый слой тела Т представляет собой цилиндр с основанием S(ξk) и высотой ΔXk

ΔVk= S(ξk) ΔXk

V=

V =

Вычисление объема тела вращения: Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции aABb ограниченной кривой y=f(x), осью Ox и x = a, y = b

1. Рассмотрим произвольное разбиение [a,b] x0 = a < x1< x2<… < xn = b

обозначим Δxk = xk-xk-1

2. Пересекаем тело вращения плоскостями перпендикулярными Ox и получи круги, радиусы которых равны |yk|=|f(xk)| На каждом [xk-1- xk] выберем произвольным образом ξk S(ξk)= πf2(ξk) (S=πR2)

3. Предположим на любом частном отрезке ф-ия S=S(x) совпадает с S(ξk). Тогда объем частичного цилиндра: ΔVk = S(ξk)Δxk = πf2(ξk)Δxk

4.