Лекция №1. Решение нелинейных уравнений. Метод половинного деления.

1. Отделение корней.

Пусть - некоторое уравнение. Число с называют корнем или решением данного уравнения, если оно, будучи подставленным в это уравнение, обращает его в верное числовое равенство, то есть . Также число с называют нулём функции

При решении некоторых нелинейных уравнений невозможно найти корни с помощью традиционных методов, применявшихся ранее. Заметим, что, как правило, эти методы решения относятся к каким-либо конкретным классам уравнений: алгебраических, тригонометрических, показательных и так далее. Но, например, даже такое, внешне несложное уравнение, как , невозможно решить привычными способами. Для алгебраических уравнений доказано, что не существует общих формул вычисления корней для уравнений степени выше четвёртой. Поэтому во многих случаях приходится прибегать к численным методам решения уравнений, которые позволяют найти действительные корни уравнения с любой заранее заданной точностью.

Процесс нахождения действительных корней с определённой точностью можно разделить на два этапа:

1) отделение корней, то есть установление числовых промежутков, в каждом из которых содержится один корень уравнения;

2) вычисление корня, принадлежащего данному промежутку, с заданной точностью.

Известно, что если функция непрерывна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри этого промежутка найдётся хотя бы один нуль функции. Условие, согласно которому функция принимает на концах отрезка значения разных знаков, можно сформулировать в виде:

Отделение корней уравнения для непрерывной в области определения функции можно осуществить различными способами.

1) Составляют таблицу значений функции на определённом промежутке изменения переменной х, и если окажется, что для соседних значений аргумента значения функции имеют разные знаки, то нуль функции (и корень уравнения) находится между ними.

2) Уравнение заменяют равносильным ему . Строят графики функций и ; искомые корни являются абсциссами точек пересечения этих графиков.

3) Строят график функции на промежутке изменения х; тогда абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ – нули функции (и корни данного уравнения).

Заметим, что перечисленные способы не только позволяют отделить корни, но и определить их количество.

Пример 1. Выяснить, сколько корней имеет уравнение , и найти промежутки, в которых эти корни находятся.

Решение.

Рассмотрим три функции:

Уравнение эквивалентно уравнению Отделим его корни первым из перечисленных способов. Из таблицы значений функции на промежутке с шагом изменения х, равным 1, видно, что существуют корни уравнения на отрезках и так как значения функции имеют на концах этих отрезков разные знаки.

Заметим, что аналогичный результат получится, если использовать второй способ, построив графики указанных функций (необходимые данные содержатся в таблице).

2. Метод половинного деления для уравнения f(x)=0.

Пусть дано уравнение

,

причём функция непрерывна на отрезке и Для вычисления корня уравнения (*), принадлежащего указанному промежутку, найдём середину этого отрезка: Если , то для продолжения вычисления выберем ту из частей данного отрезка или , на концах которой функция имеет противоположные знаки. Концы нового отрезка обозначим

Новый суженный промежуток снова делим пополам и проводим вычисления по указанной схеме и так далее. В результате получаем либо точный корень на одном из этапов, либо последовательность вложенных отрезков таких, что

Число с – общий предел последовательностей и - является корнем уравнения (*). Оценку  погрешности решения на п-м шаге вычислений можно получить из соотношения (3) в виде

Здесь с точностью , не превышающей

Пример 2. Методом половинного деления найти корень уравнения с точностью =0,01.

Решение.

В предыдущем примере было при отделении корней уравнения установлено, что один из искомых корней принадлежит отрезку . На каждом шаге вычислений значение корня принимаем равным с погрешностью . Будем производить вычисления и выбирать последовательность вложенных отрезков , используя условие (2). Имеем

Так как и , то принимаем:

Тогда

Здесь

Следовательно,

Тогда

Производя вычисления далее (рекомендуется воспользоваться специальной компьютерной программой), можно убедиться, что требуемая точность достигается на 7-м шаге: с погрешностью

Задание.

Методом половинного деления найти корни уравнений (предварительно отделив их):

1. с точностью до 0,001;

2. с точностью до 0,01.

6. .