Теорема об оценке определенного интеграла.
Пусть на отрезке и функция интегрируема на отрезке. Тогда
Доказательство. Интегрируя по свойству 7 неравенство , с учетом свойства 5 получаем требуемое утверждение.
Теорема об оценке полезна, когда интеграл вычислить трудно или вообще невозможно, но приблизительно оценить его необходимо. Это часто встречается в инженерной практике.
Пример. . Такой интеграл «не берется». Но на отрезке . Поэтому, учитывая четность подинтегральной функции, получим . Конечно, это – очень грубая оценка, более точную оценку можно получить, применяя методы численного интегрирования.
-
Доказать теорему о структуре общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
Общее решение однородной системы представляет собой линейную комбинацию решений фундаментальной системы решений.
.
Доказательство. Проверим, что является общим решением, исходя из определения общего решения.
-
- решение однородной системы как линейная комбинация ее решений (теорема о свойствах решений).
-
Зададим произвольные начальные условия и покажем, что можно единственным образом выбрать набор констант , при котором . Запишем это соотношение покоординатно как систему уравнений относительно .
Определитель этой системы равен , так как решения линейно независимы. Поэтому набор констант определяется из системы уравнений единственным образом. Теорема доказана.
Следствие. Общее решение однородной системы можно записать в виде
.
- Экзаменационный билет №1
- Если на отрезке , то .
- Рассмотрим случай, когда все собственные значения линейного оператора с матрицей (или все характеристические числа матрицы , что одно и то же) действительны и различны.
- Экзаменационный билет №2
- Экзаменационный билет №3
- Теорема об оценке определенного интеграла.
- Экзаменационный билет №4
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
- Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
- Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений, их применение и нахождение.
- Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.(...Н е т...)
- Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.
- Линейное уравнение.
- Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
- Доказать теоремы о свойствах частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
- Теорема о наложении частных решений.
- Метод подбора формы частного решения.
- Пусть правая часть представляет собой квазиполином .
- Линейная зависимость и независимость.
- Определитель Вронского.
- 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Линейная зависимость и независимость.
- Определитель Вронского.
- 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
- Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.