Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.(...Н е т...)
Метод вариации произвольной постоянной для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка. . ().
Здесь обозначено , заметим, если y- решение однородного уравнения, то .
Заметим, всегда, применяя метод вариации, надо делить на коэффициент при старшей производной, т.е. приводить уравнение.
Пусть найдено решение однородного уравнения
.
Варьируем произвольные постоянные, ищем решение неоднородного уравнения в виде
.
Дифференцируем это соотношение
.
Потребуем, чтобы
.,
тогда .
Дифференцируем еще раз
.
Потребуем, чтобы
.,
тогда .
Вновь дифференцируем и т.д., в результате, после n-2 дифференцирования получим
.
.
Дифференцируем и подставляем
+.
в неоднородное уравнение .
+=
Так как - решения однородного уравнения, то .
Получим .
Это – последнее уравнение системы для определения варьированных констант. Соберем все уравнения в систему для определения констант.
.,
.,
.
Так как определитель системы – определитель Вронского, не равный нулю в силу линейной независимости решений, то функции определяются из этой системы однозначно.
Теперь общее решение неоднородного уравнения определяется по формуле .
-
10
-
Вывести формулу для вычисления с помощью определённого интеграла объёма тела по площадям параллельных сечений.(!!!БРАТЬ В ЛЕКЦИИ!!!)
-
Пусть требуется вычислить объем некоторого тела V по известным площадям сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными прямой OX, проведенными через любую точку x отрезка [a, b] прямой OX.
Применим метод дифференциалов. Считая элементарный объем , над отрезком объемом прямого кругового цилиндра с площадью основания и высотой , получим . Интегрируя и применяя формулу Ньютона – Лейбница, получим
.
-
Сформулировать задачу Коши и теорему Коши о существовании и единственности решения этой задачи для дифференциального уравнения первого порядка. Особые точки и особые решения дифференциальное уравнения первого порядка.
Теорема существования решения задачи Коши.
Пусть функция непрерывна в области , тогда существует хотя бы одно решение, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям или существует хотя бы одна интегральная кривая, проходящая через точку .
Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Пусть функция непрерывна в области и удовлетворяет в этой области одному из трех условий:
А: функция удовлетворяет условию Липшица по :
,
В: существует и ограничена частная производная ,
D: существует и непрерывна частная производная .
Заметим, что из условия D следует условие В., а из условия В следует условие А. Поэтому класс функций, удовлетворяющих условию А, шире, чем класс функций, удовлетворяющих условию В, а класс функций, удовлетворяющих условию В, шире, чем класс функций, удовлетворяющих условию С. Условие А проверить трудно, а условие В или условие D проверить гораздо легче.
Если в какой-либо точке решение дифференциального уравнения не существует (через точку не проходит интегральная кривая), то в ней разрывна функция .
Если через какую-либо точку проходят две или более интегральных кривых, то функция непрерывна в этой точке, но ни одно из условий А, В, D не выполнено в ней.
Пример. Найти общее и частное решение уравнения .
Очевидно, что общее решение будет . Так как правая часть непрерывна и удовлетворяет условию D, то через любую точку конечной плоскости OXY проходит единственная интегральная кривая.
Для заданных начальных условий существует константа , такая что .
- Экзаменационный билет №1
- Если на отрезке , то .
- Рассмотрим случай, когда все собственные значения линейного оператора с матрицей (или все характеристические числа матрицы , что одно и то же) действительны и различны.
- Экзаменационный билет №2
- Экзаменационный билет №3
- Теорема об оценке определенного интеграла.
- Экзаменационный билет №4
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Несобственные интегралы от разрывной функции по конечному промежутку (второго рода).
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Метод вариации произвольных постоянных для нахождения решения линейного неоднородного дифференциального уравнения n-ого порядка.
- Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
- Первые интегралы нормальной системы дифференциальных уравнений, их применение и нахождение.
- Нахождение общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.(...Н е т...)
- Понятие об особых точках и особых решениях дифференциального уравнения первого порядка.
- Линейное уравнение.
- Несобственные интегралы от непрерывной функции по бесконечному промежутку (первого рода).
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Теорема о среднем значении определенного интеграла («теорема о среднем»).
- Доказать теоремы о свойствах частных решений линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.
- Теорема о наложении частных решений.
- Метод подбора формы частного решения.
- Пусть правая часть представляет собой квазиполином .
- Линейная зависимость и независимость.
- Определитель Вронского.
- 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
- 1 Признак. Теорема. Пусть при выполнено неравенство .
- Линейная зависимость и независимость.
- Определитель Вронского.
- 2. Для линейной независимости решений необходимо и достаточно .
- Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.